Limite de fonctions définies par une intégrale

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Limite de fonctions définies par une intégrale

Les exercices

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Exercice 421 *

12 mai 2021 12:32 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit une fonction\(f:[0,1] \mapsto \mathbb{R}\) continue. Trouver la limite de la suite de terme général \[\int_0^1 \dfrac{f(x)}{1+nx} \mathrm{ \;d}x\]

Exercice 689 *

12 mai 2021 12:32 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

A l’aide de majorations simples, trouver les limites des suites suivantes :

\(I_n= \int_{0}^{1}\dfrac{x^n}{1+e^{nx}}dx\) ;
\(I_n= \int_{0}^{1}\dfrac{e^{-nx}}{1+x}dx\) ;
\(I_n=\int_{0}^{1} x^n\sin (nx) dx\) ;
\(I_n= \int_{0}^{1} e^{-nx}(1+x^n)dx\) ;
\(I_n=\dfrac{1}{n} \int_{n}^{2n}\operatorname{arctan} x dx\);
\(I_n=\int_0^1 x^n \ln (1+x^2) dx\).

Exercice 703 **

12 mai 2021 12:32 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Déterminer les limites suivantes:

\(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0} \int_{-2x}^{2x} \cos\left(t^4\right)\,\textrm{d}t }\)
\(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty} \int_{x}^{2x} \dfrac{\cos\left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle t}\right)}{t^2}\,\textrm{d}t }\)
\(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty} \int_{x}^{3x} \dfrac{e^{-t}}{t} \,\textrm{d}t }\)
\(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty} \int_{x}^{x^2} \dfrac{1}{\ln t} \,\textrm{d}t }\)
\(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow -\infty} \int_{x}^{2x} \dfrac{e^{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle t}}}{t} \,\textrm{d}t }\)
\(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty} \int_{ x }^{2x} \dfrac{\cos t}{t} \,\textrm{d}t }\)

Pour la dernière, penser à une intégration par parties.

Exercice 1004 **

12 mai 2021 12:32 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit la suite de fonctions \((g_n)\) définies sur \([0,1]\) par \(g_n(x)=0\) si \(x\in ]\dfrac{1}{n},1]\) et \(g_n(x)=n\) si \(x\in [0,\dfrac{1}{n}]\). Soit \(f\) une fonction continue sur \([0,1]\). Trouver la limite de la suite de terme général \[I_n= \int_{0}^{1}f(t)g_n(t) \mathrm{ \;d}t\]

Exercice 254 **

12 mai 2021 12:32 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On définit une fonction \(I\) en posant, pour tout \(x\in\mathbb{R}^*\), \(I(x) = \dfrac{1}{x} \int_0^{\pi} \sin ( x^2 \sin t) dt\). Trouver la limite de \(I(x)\) lorsque \(x \rightarrow 0\).

Exercice 367 ***

12 mai 2021 12:32 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit une fonction \(f:[0,1] \rightarrow R\) continue. Trouver la limite des suites de terme général :

\(H_n=\int_{0}^{1} x^n f(x)\,\textrm{d}x\)
\(I_n = n \int_0^1 x^n f(x) \mathrm{ \;d}x\)

Exercice 615 ***

12 mai 2021 12:32 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit une fonction \(f:[0,1] \mapsto \mathbb{R}\) continue et un réel \(a\in[0,1]\). Trouver la limite de la suite de terme général \[I_n = \int_0^1 f(ax^n) \mathrm{ \;d}x\]

Exercice 909 ***

12 mai 2021 12:32 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit une fonction \(f\) continue sur \(\mathbb{R}\). Déterminer la limite lorsque \(x\rightarrow 0\) de la fonction définie pour tout \(x\in\mathbb{R}\) par \[I(x) = \int_0^x \dfrac{x}{x^2+t^2}f(t) \mathrm{ \;d}t .\]

Faire un changement de variables qui fera apparaître la variable \(x\) à l’intérieur de \(f\).

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