Majorations d'intégrales

Dans le dossier «Majorations d'intégrales»

Majorations d'intégrales

Les exercices

$\bullet$Exercice 495 *
$\bullet$Exercice 933 *
$\bullet$Exercice 865 *
$\bullet$Exercice 429 *
$\bullet$Exercice 131 **
$\bullet$Exercice 355 **
$\bullet$Exercice 63 **
$\bullet$Exercice 876 ***

Exercices dans ce dossier

Exercice 495 *

12 mai 2021 12:28 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(0<a<b\). Montrer que \[\int_a^b \dfrac{dx}{x} < \dfrac{b-a}{\sqrt{ab}}\] Peut-il y avoir égalité ?

Exercice 933 *

12 mai 2021 12:28 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit deux fonctions continues et positives \(f,g :[0,1] \mapsto \mathbb{R}\). On suppose que \(\forall x \in[0,1]\), \(f(x)g(x)\geqslant 1\). Montrer que \[\left[\int_0^1 f(t) \mathrm{ \;d}t \right] \left[ \int_0^1 g(t) \mathrm{ \;d}t \right] \geqslant 1\] Étudier le cas d’égalité.

Exercice 865 *

12 mai 2021 12:28 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit une fonction \(f\) continue sur le segment \([0,1]\). Pour un entier \(k\in \mathbb N\), on note \[I_k= \int_{0}^{1}x^k\left| f(x)\right| \mathrm{ \;d}x\] Montrer que pour \((p,q)\in \mathbb{N}^{2}\), on a \(I_{p+q}^2\leqslant I_{2p}I_{2q}\).

Exercice 429 *

12 mai 2021 12:28 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit l’ensemble \(E=\{ f\in \mathcal{C}([a,b]) \mid \forall x\in [a,b], f(x)>0 \}\). Déterminer \[\alpha = \inf_{f\in E} \left( \int_a^b f(x) \mathrm{ \;d}x\right) \left( \int_a^b \dfrac{dx}{f(x)} \right)\]

Exercice 131 **

12 mai 2021 12:28 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soient \(a,b\in\mathbb{R}\) tels que \(a<b\). Déterminer les fonctions \(f : [a, b] \mapsto \mathbb{R}\) continues vérifiant \[\int_a^b f^2(x)\mathrm{ \;d}x = \int_a^b f^3(x)\mathrm{ \;d}x = \int_a^b f^4(x) \mathrm{ \;d}x\]

Exercice 355 **

12 mai 2021 12:28 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soient deux fonctions strictement positives \(f,g \in \mathcal{C}^{0}([0,1])\). Montrer que \[\int_0^1 \left( \dfrac{f(t)}{g(t)}+\dfrac{g(t)}{f(t)} \right) \mathrm{ \;d}t \geqslant 2\]

Exercice 63 **

12 mai 2021 12:28 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit une fonction convexe \(\varphi\) continue sur \(\mathbb{R}\).

Si \(f\) est une fonction en escalier sur \([0,1]\), montrer que \[\varphi \left( \int_{0}^{1}f(x) \mathrm{ \;d}x \right) \leqslant\int_{0}^{1}\varphi \circ f(x) \mathrm{ \;d}x\]
Si \(f\) est une fonction continue sur \([0,1]\), montrer que \[\varphi \left( \int_{0}^{1}f(x) \mathrm{ \;d}x \right) \leqslant\int_{0}^{1}\varphi \circ f(x) \mathrm{ \;d}x\]

Exercice 876 ***

12 mai 2021 12:28 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Pour \(f:[a,b]\longrightarrow \mathbb{R}\), on note \(\overline{f}=\dfrac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(t) \mathrm{ \;d}t\) sa valeur moyenne. Montrer qu’il existe une constante \(C\) ne dépendant que de \(a\) et \(b\) telle que pour toute fonction \(f\in \mathcal{C}^{1}([a,b])\), \[\int_{a}^{b}\left| f(x)-\overline{f}\right|^2 \mathrm{ \;d}x \leqslant C \int_{a}^{b}(f'(x))^2 \mathrm{ \;d}x\]

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