Propriétés de l'intégrale

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Propriétés de l'intégrale

Les exercices

Exercices dans ce dossier

Exercice 953 *

12 mai 2021 12:26 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On considère une fonction \(f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}\). On suppose que \(f\) est continue sur \([a,b]\). Montrer que les deux propositions suivantes sont équivalentes :

\(\left|\int_{a}^{b} f(t)\,\textrm{d}t\right|= \int_{a}^{b} \left|f(t)\right|\,\textrm{d}t\)
\(f\leqslant 0\) ou \(f\geqslant 0\).

Exercice 292 *

12 mai 2021 12:26 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Considérons une application continue \(f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}\). Montrer que \(f\) admet une et une seule primitive \(F\) vérifiant \(\int_{0}^{1} F(t)\,\textrm{d}t=0\).

Un théorème de point fixe *

12 mai 2021 12:26 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On considère une fonction \(f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}\) continue sur \(\left[0,1\right]\) et telle que \(\int_{0}^{1} f(t)\,\textrm{d}t={\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}\). Montrer que \(f\) admet un point fixe.

Introduire la fonction \(\varphi: \left\{ \begin{array}{ccl} [0,1] & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ t & \longmapsto & f(t)-t \end{array} \right.\).

Exercice 293 *

12 mai 2021 12:26 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}\) une fonction continue sur \([a,b]\). Montrer que:

\[\exists c \in ]a,b[, \quad {\scriptstyle 1\over\scriptstyle b-a}\int_{a}^{b} f(t)\,\textrm{d}t=f(c)\]

Poser \(\alpha={\scriptstyle 1\over\scriptstyle b-a}\int_{a}^{b} f(t)\,\textrm{d}t\) et introduire la fonction \(\varphi:t \mapsto f(t)-\alpha\).

Exercice 848 *

12 mai 2021 12:26 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soient \(a,b\in\mathbb{R}\) tels que \(a<b\). Trouver les fonctions \(f\) continues sur \([a,b]\) telles que \[\int_{a}^{b}f(x) \mathrm{ \;d}x = (b-a) \sup_{x\in [a,b]}\Bigl| f(x)\Bigr|\]

Exercice 232 **

12 mai 2021 12:26 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soient \(f,g:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}\) deux fonctions continues. On suppose que \(g \geqslant 0\). Montrer qu’il existe \(c \in[a,b]\) tel que

\[\int_{a}^{b} f(t)g(t)\,\textrm{d}t=f(c)\int_{a}^{b} g(t)\,\textrm{d}t\]

Exercice 766 ***

12 mai 2021 12:26 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(f\) une fonction continue sur \([a,b]\). On suppose que \(\forall k \in [0,n]\), \(\int_a^b t^k f(t) \mathrm{ \;d}t =0\). Montrer que \(f\) s’annule au moins \(n+1\) fois sur \([a,b]\).

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