Changement de variable

Dans le dossier «Changement de variable»

Changement de variable

Les exercices

$\bullet$Exercice 525 *
$\bullet$Exercice 340 *
$\bullet$Exercice 243 *
$\bullet$Exercice 724 *
$\bullet$Exercice 311 **
$\bullet$Exercice 601 **
$\bullet$Exercice 668 **

Exercices dans ce dossier

Exercice 525 *

12 mai 2021 12:14 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Déterminer les primitives suivantes en utilisant le changement de variable précisé :

\(\int_{1}^{e} {\scriptstyle\ln x\over\scriptstyle x}\,\textrm{d}x\) en posant \(u=\ln x\)
\(\int_{0}^{1} {\scriptstyle x^3\over\scriptstyle\sqrt{x+1}}\,\textrm{d}x\) en posant \(u=\sqrt{x+1}\).
\(\int_{0}^{{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}} \sin x \cos^2 x\,\textrm{d}x\) en posant \(u=\cos x\).
\(\int_{0}^{{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 4}} \tan^4 x\,\textrm{d}x\) en posant \(u=\tan x\).
\(\int_{0}^{1} \sqrt{1-x^2}\,\textrm{d}x\) en posant \(x=\cos u\).
\(\int_{1}^{e} {\scriptstyle\ln x\over\scriptstyle\sqrt x}\,\textrm{d}x\) en posant \(u=\sqrt{x}\).

Exercice 340 *

12 mai 2021 12:14 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Déterminer les primitives suivantes en utilisant un changement de variable adéquat :

\(\int_{}^{} \dfrac{1}{x+x\ln^2 x}\,\textrm{d}x\)
\(\int_{}^{} \dfrac{\sin x}{1+\cos^2 x}\,\textrm{d}x\)
\(\int_{}^{} {\sqrt{x^2+1}}\,\textrm{d}x\)
\(\int_{}^{} \dfrac{1}{\mathop{\mathrm{ch}}x}\,\textrm{d}x\)
\(\int_{}^{} {\scriptstyle e^{2x}\over\scriptstyle e^x+1}\,\textrm{d}x\)
\(\int_{}^{} {\scriptstyle x\over\scriptstyle\sqrt{x+1}}\,\textrm{d}x\)

Exercice 243 *

12 mai 2021 12:14 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Calculer les intégrales suivantes en utilisant un changement de variable adéquat :

\(\int_{0}^{1} \dfrac{1}{1+e^x}\,\textrm{d}x\)
\(\int_{0}^{1} x^2\sqrt{1-x^2}\,\textrm{d}x\)
\(\int_{0}^{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}} \sqrt{\dfrac{\operatorname{arcsin} x}{1-x^2}}\,\textrm{d}x\)
\(\int_{0}^{{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 4}} \dfrac{1}{\cos^2 x \sqrt{\tan x}}\,\textrm{d}x\)
\(\int_{1}^{4} \dfrac{1}{x+\sqrt{x}}\,\textrm{d}x\)
\(\int_{0}^{1} \dfrac{1}{1+x+x^2}\,\textrm{d}x\)

Exercice 724 *

12 mai 2021 12:14 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(a,b\in\mathbb{R}_+^*\) et \(n\in\mathbb{N}\). Calculer à l’aide de changements de variables, les intégrales

\[I_1=\int _0^a \dfrac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}},\quad I_2=\int _0^a\dfrac{dx}{a^2+x^2},\quad I_3=\int _a^b(x-a)^n\mathrm{ \;d}x\]

Exercice 311 **

12 mai 2021 12:14 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

En utilisant un bon changement de variables, calculer pour \(0<a<b\), l’intégrale \[I= \int_a^b (x-a)^3(b-x)^4 dx\]

Exercice 601 **

12 mai 2021 12:14 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit un réel \(a > 0\). Calculer en utilisant un bon changement de variables, l’intégrale \[I=\int_{1/a}^a \dfrac{x\ln x}{(1+x^2)^2} \mathrm{ \;d}x\]

Comment laisser les bornes invariantes ?

Exercice 668 **

12 mai 2021 12:14 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Calculer en utilisant un bon changement de variables l’intégrale \[I=\int_0^{\pi} \dfrac{x\sin x}{1+\cos ^2x} \mathrm{ \;d}x\]

Comment laisser les fonctions \(\sin x\), \(\cos^2 x\) et les bornes invariantes?

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