Intégration par parties

Dans le dossier «Intégration par parties»

Intégration par parties

Les exercices

$\bullet$Exercice 388 *
$\bullet$Exercice 923 *
$\bullet$Exercice 819 *
$\bullet$Exercice 483 *
$\bullet$Exercice 904 *
$\bullet$Exercice 914 **
$\bullet$Exercice 482 **
$\bullet$Exercice 266 **

Exercices dans ce dossier

Exercice 388 *

12 mai 2021 12:05 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Déterminer les intégrales suivantes:

\(\int_{1}^{e} \ln x\,\textrm{d}x\)
\(\int_{0}^{1} \operatorname{arctan} x\,\textrm{d}x\)
\(\int_{0}^{{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}} e^x\cos x\,\textrm{d}x\)
\(\int_{0}^{1} \left(x+2\right)e^x\,\textrm{d}x\)
\(\int_{0}^{{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}} x\sin^3 x\,\textrm{d}x\)
\(\int_{0}^{\pi} \left(x-1\right)\cos x\,\textrm{d}x\)

Exercice 923 *

12 mai 2021 12:05 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Déterminer les primitives suivantes après avoir déterminé sur quel intervalle elles sont définies:

\(\int_{}^{} \ln x\,\textrm{d}x\)
\(\int_{}^{} \operatorname{arcsin} x\,\textrm{d}x\)
\(\int_{}^{} x\operatorname{arctan} x\,\textrm{d}x\)
\(\int_{}^{} \left(x+1\right)\mathop{\mathrm{sh}}x\,\textrm{d}x\)
\(\int_{}^{} \mathop{\mathrm{argsh}}\left(3x\right)\,\textrm{d}x\)
\(\int_{}^{} \ln\left(1+x^2\right)\,\textrm{d}x\)

Exercice 819 *

12 mai 2021 12:05 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Déterminer les primitives suivantes après avoir déterminé sur quel intervalle elles sont définies:

\(\int_{}^{} x\mathop{\mathrm{ch}}^2 x\,\textrm{d}x\)
\(\int_{}^{} x\ln\left(x+1\right)\,\textrm{d}x\)
\(\int_{}^{} \mathop{\mathrm{argth}}x\,\textrm{d}x\).
\(\int_{}^{} \mathop{\mathrm{ch}}x\cos x\,\textrm{d}x\)
\(\int_{}^{} \dfrac{x}{\cos^2 x}\,\textrm{d}x\)
\(\int_{}^{} x{\ln^2 x}\,\textrm{d}x\)

Exercice 483 *

12 mai 2021 12:05 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Calculer \(I=\int_0^{\pi/2} t^2 \sin^2(t) \mathrm{ \;d}t\).

Exercice 904 *

12 mai 2021 12:05 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit une fonction \(f\) de classe sur le segment \([a,b]\). Montrer que \[\int _a^b f(x) \mathrm{ \;d}x = \dfrac{b-a}{2}\left[ f(a)+f(b)\right] +\dfrac{1}{2}\int _a^b(x-a)(x-b)f''(x) \mathrm{ \;d}x\]

Exercice 914 **

12 mai 2021 12:06 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(n\in\mathbb{N}^*\). Trouver une relation entre \(\int_{}^{} {\scriptstyle 1\over\scriptstyle\left(x^2+1\right)^n}\,\textrm{d}x\) et \(\int_{}^{} {\scriptstyle 1\over\scriptstyle\left(x^2+1\right)^{n+1}}\,\textrm{d}x\).
En déduire : \(\int_{}^{} {\scriptstyle 1\over\scriptstyle\left(x^2+1\right)^2}\,\textrm{d}x\) et \(\int_{}^{} {\scriptstyle 1\over\scriptstyle\left(x^2+1\right)^3}\,\textrm{d}x\).

Exercice 482 **

12 mai 2021 12:06 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Calculer pour un entier \(n\in \mathbb N\), l’intégrale \[I_n = \int_0^1 x^n\sqrt{1-x} \mathrm{ \;d}x\]

Exercice 266 **

12 mai 2021 12:06 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Pour un entier \(n\in \mathbb{N}\), on pose \[I_n = \int_0^{\pi/2} \dfrac{\sin nx}{\sin x} \mathrm{ \;d}x\]

Justifier que pour tout entier \(n>0\), l’intégrale \(I_n\) existe.
Calculer pour \(n\geqslant 2\), \(I_n - I_{n-2}\), \(I_0\) et \(I_1\).
En déduire la valeur de \(I_n\) pour tout entier \(n\).

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