Systèmes linéaires

Résoudre dans \(\mathbb{R}^3\) les systèmes :

Sans chercher à résoudre les systèmes suivants, discuter la nature de leur ensemble solution : \[\left\{ \begin{array}{rc@{ }rc@{ }rcl} x &+& y &-& z &=& 0 \\ x &-& y & & &=& 0 \\ x &+& y &+& z &=& 0 \end{array} \right. \qquad \left\{ \begin{array}{rc@{ }rc@{ }rcl} x &+& 3 y &+& 2 z &=& 1 \\ 2 x &-& 2 y & & &=& 2 \\ x &+& y &+& z &=& 2 \end{array} \right. \qquad \left\{ \begin{array}{rc@{ }rc@{ }rcl} x &+& 3 y &+& 2 z &=& 1 \\ 2 x &-& 2 y & & &=& 2 \\ x &+& y &+& z &=& 3 \end{array} \right.\]

Discuter, suivant la valeur de \(m\), la dimension de l’espace des solutions des systèmes suivants :

On considère, pour un paramètre réel \(m\), les sous-espaces vectoriels de \(\mathbb{R}^3\) :

\[F=\left\{\left(x,y,z\right)\in\mathbb{R}^3 ~|~ x+my+z=0 \quad \textrm{ et} \quad mx+y-mz=0\right\}\] \[\quad \textrm{ et} \quad G=\left\{\left(x,y,z\right)\in\mathbb{R}^3 ~|~ x-my+z=0 \right\}\]

Résoudre et discuter suivant les valeurs de \(b_1\), \(b_2\), \(b_3\) et \(b_4\) : \[\displaylines{ (S_1)\;\left\{\begin{array}{rcl} x+3y+4z+7t &=&b_1 \\ x+3y+4z+5t &=&b_2 \\ x+3y+3z+2t &=&b_3 \\ x+y+z+t &=&b_4 \end{array}\right. \qquad(S_2)\;\left\{\begin{array}{rcl} x+3y+5z+3t &=&b_1 \\ x+4y+7z+3t &=&b_2\\ y+2z &=& b_3\\ x+2y+3z+2t &=&b_4 \end{array}\right.\cr (S_3)\;\left\{\begin{array}{rcl} x+y+2z-t &=&b_1 \\ -x+3y+t &=&b_2 \\ 2x-2y+2z-2t &=&b_3 \\ 2y+z&=&b_4\\ \end{array}\right. \qquad(S_4)\;\left\{\begin{array}{rcl} x+2y+z+2t &=&b_1 \\ -2x-4y-2z-4t &=&b_2\\ -x-2y-z-2t &=& b_3\\ 3x+6y+3z+6t &=&b_4 \end{array}\right.}\]

Résoudre les systèmes suivants à l’aide du déterminant : \[\left\{ \begin{aligned} x&+y&-z&=& 0 \cr x&+3y&+z&=&0 \cr 2x&+y&-3z&=&0\cr -x&+2y&+4z&=&0 \end{aligned}\right. \quad \textrm{ et} \quad \left\{ \begin{aligned} x&+y&+2z&=&1 \cr 2x&+y&+z&=&2 \cr -x&-2y&-5z&=&-1 \end{aligned}\right.\]

Soit \(f\) l’application linéaire qui fait correspondre au vecteur \(\left(x,y,z\right)\) le vecteur \(\left(a,b,c,d\right)\) dont les coordonnées sont définies par le système suivant : \[\left\{ \begin{aligned} -x&-y&+mz&=&a \cr -mx&+y&+mz&=&b \cr x&-y&-mz&=&c \cr mx&+y&+z&=&d \end{aligned}\right.\] Déterminer suivant les valeurs du paramètre réel \(m\), le rang de \(f\). En déduire le nombre de solutions du système précédent puis le résoudre en fonction du second membre.

Déterminer suivant les valeurs des réels \(m,a,b,c\) les solutions du système : \[\left\{ \begin{aligned} mx&+my&+mz&=&a \cr x&+my&+z&=&b \cr x&+y&+mz&=&c \end{aligned}\right.\]

Déterminer suivant les valeurs des réels \(m,a,b,c\) les solutions du système : \[\left\{ \begin{array}{*8{c@{\;}}} x&-& y&-&m z&=&a\\ x&+&2y&+& z&=&b\\ x&+& y&-& z&=&c \end{array} \right.\]

Résoudre le système : \[\left\{ \begin{matrix} ax+by+z & = & 1 \\ x+by+z & = & b \\ x+by+az & = & 1 \end{matrix}\right.\]

Résoudre le système : \[\left\{ \begin{matrix} ax+by+z=1\\ x+aby+z=b\\ x+by+az=1\end{matrix} \right.\]

Résoudre le système : \[\left\{ \begin{matrix} x+ay+bz=a \\ x-2ay+bz=b\end{matrix} \right.\]

Résoudre \(\left\lbrace \begin{array}{ccccccccc} 10x & + & 7y & + & 8z & + & 7t & = & 32 \\ 7x & + & 5y & + & 6z & + & 5t & = & 23 \\ 8x & + & 6y & + &10z & + & 9t & = & 33 \\ 7x & + & 5y & + & 9z & + &10t & = & 31 \end{array} \right.\) et \(\left\lbrace \begin{array}{ccccccccc} 10x & + & 7y & + & 8z & + & 7t & = & 32,1 \\ 7x & + & 5y & + & 6z & + & 5t & = & 22,9 \\ 8x & + & 6y & + &10z & + & 9t & = & 33,1 \\ 7x & + & 5y & + & 9z & + &10t & = & 30,9 \end{array} \right.\).
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