Matrices semblables, équivalentes

Dans le dossier «Matrices semblables, équivalentes»

Matrices semblables, équivalentes

Les exercices

$\bullet$Exercice 176 *
$\bullet$Exercice 629 *
$\bullet$Exercice 426 *
$\bullet$Exercice 709 *
$\bullet$Exercice 424 *
$\bullet$Exercice 575 **
$\bullet$Exercice 599 **
$\bullet$Exercice 99 **
$\bullet$Exercice 573 **
$\bullet$Classes d’équivalence dans \(\mathcal M _{n,1}(\mathbb{Z})\) **

Exercices dans ce dossier

Exercice 176 *

1 avril 2021 11:56 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Trouver les matrices \(E_{ij}\) de la base canonique de \(\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{R})\) semblables à une matrice diagonale.

Exercice 629 *

1 avril 2021 11:56 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Montrer que la matrice \(A = \begin{pmatrix} 0&1 \\ 1&0 \end{pmatrix}\) est semblable à la matrice \(D = \begin{pmatrix} -1&0 \\ 0&1 \end{pmatrix}\)

Exercice 426 *

1 avril 2021 11:56 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Les matrices \(A = \begin{pmatrix} -1&0&0 \\ 0&0&0 \\ 0&0&1 \end{pmatrix}\) et \(B = \begin{pmatrix} 0&0 & 0 \\ 1&0&0\\ 0&1&0 \end{pmatrix}\) sont-elles semblables ?

Exercice 709 *

1 avril 2021 11:56 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soient deux matrices \(A, B \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{R})\) , avec \(A\) inversible.

Montrer que \(AB\) et \(BA\) sont semblables.
Montrer que le résultat est faux si \(A\) n’est pas inversible.

Exercice 424 *

1 avril 2021 11:56 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On considère une matrice \(A\in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R} })\) qui s’écrit: \[A= \begin{pmatrix} B & C \\ {D}^{\mathrm{T}} & a \end{pmatrix}\] où \(B\in \mathfrak{M}_{n-1}(\mathbb{\mathbb{R} })\), \(C,D \in \mathfrak{M}_{n-1,1}(\mathbb{\mathbb{R} })\) et \(a\in \mathbb{R}\). On suppose que \(B\) est inversible. Montrer que \(A\) est inversible si et seulement si \[a \neq ^{t}DB^{-1}C\]

Exercice 575 **

1 avril 2021 11:56 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On considère la matrice \(P=\left( \begin{array}{ccc} 0 & & 1 \\ & \nearrow & \\ 1 & & 0 \end{array}\right)\).

Montrer que la matrice \(P\) est inversible et calculer son inverse \(P^{-1}\).
Pour une matrice \(A\in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{K})\), calculer la matrice \(PAP\).
En déduire qu’une matrice triangulaire inférieure est semblable à une matrice triangulaire supérieure.

Exercice 599 **

1 avril 2021 11:56 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Á quelle condition deux matrices \(E_{pq}\) et \(E_{kl}\) de la base canonique de \(\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{R})\) sont-elles semblables ?

Exercice 99 **

1 avril 2021 11:56 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit une matrice \(A\in\mathfrak{M}_{2}(\mathbb{R})\) vérifiant \(A^2=I\) et telle que \(A\) n’est pas une matrice scalaire. Montrer que \(A\) est semblable à la matrice \(\begin{pmatrix} 0&1 \\ 1&0 \end{pmatrix}\)

Exercice 573 **

1 avril 2021 11:56 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension finie \(n\) et un endomorphisme \(f \in L(E)\) de rang \(1\).

Si l’on suppose que \(\operatorname{Ker}f \cap \mathop{\mathrm{Im}}f = \{0_E\}\), montrer qu’il existe une base \(\varepsilon\) de \(E\) et un scalaire \(\lambda \in \mathbb{K}\) tels que \[\mathop{\mathrm{Mat}}_{\varepsilon}(f) = \begin{pmatrix} \lambda & 0 & \dots & 0 \\ 0 & \vdots & & \vdots \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & 0 \end{pmatrix}\]

En déduire que pour tout endomorphisme \(f\) de rang \(1\), il existe un scalaire \(\alpha \in \mathbb{K}\) tel que \(f^2 = \alpha f\).

Soit une base \(e\) quelconque de \(E\), et un endomorphisme \(f \in L(E)\) quelconque. On note \(B = \mathop{\mathrm{Mat}}_e(f)\) la matrice de l’endomorphisme \(f\) dans la base \(e\). Montrer l’équivalence \[{\mathop{\mathrm{rg}}(f) = 1 }\leftrightarrow {\exists (X, Y) \in \mathfrak{M}_{n1}(\mathbb{\mathbb{K} }) ^2\textrm{ non nuls tels que } B = X {Y}^{\mathrm{T}}}\] (On se contentera de la démonstration dans le cas où \(\operatorname{Ker}f \cap \mathop{\mathrm{Im}}f = \{0_E\}\)). voir exercice [matrice_carree_de_rang1] p.[matrice_carree_de_rang1].

Classes d’équivalence dans \(\mathcal M _{n,1}(\mathbb{Z})\) **

11 avril 2024 17:52 — Par Michel Quercia

Soit \(M \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{Z}})\). Montrer que \(M \in GL_n(\mathbb{Z})\) si et seulement si \(|\det M| = 1\).
Soit \(X = \begin{pmatrix}x_{1} \\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix} \in \mathcal M _{n,1}(\mathbb{Z})\) et \(d\) le pgcd de \(x_{1},\dots, x_n\). Montrer qu’il existe \(A \in GL_n(\mathbb{Z})\) telle que \(AX = \begin{pmatrix}d \\ 0\\ \vdots \\ 0\end{pmatrix}\) (par récurrence sur \(n\)).
Soient \(X,Y \in \mathcal M _{n,1}(\mathbb{Z})\). CNS pour qu’il existe \(A \in GL_n(\mathbb{Z})\) telle que \(AX = Y\) ?

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