Changement de base

On considère l’espace vectoriel \(\mathbb{R}^2\) muni de sa base canonique \(e=\left(e_1,e_2\right)\). On considère l’endomorphisme \(f\) de \(\mathbb{R}^2\) donné par : \[f\left(e_1\right)=e_1+e_2 \quad \textrm{ et} \quad f\left(e_2\right)=-e_1+2e_2\]

Soit \(\left(e_1,e_2,e_3\right)\) la base canonique de \(\mathbb{R}^3\). On pose : \[f_1=e_1-e_2+2e_3,\quad f_2=e_2+e_3,\quad f_3=e_1+2e_3\]

Soient : \[P_1=X^2+1, \quad P_2=X +1\quad \textrm{ et} \quad P_3=2X^2-X\] On note \(\mathscr B=\left(1,X,X^2\right)\) la base canonique de \(\mathbb{R}_2\left[X\right]\).

On considère \(E=\mathbb{R}^3\) et \(F=\mathbb{R}^2\) tous deux munis de leurs bases canoniques respectives qu’on notera \(e=\left(e_1,e_2,e_3\right)\) et \(f=\left(f_1,f_2\right)\). Soit \(u: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}^3 & \longrightarrow & \mathbb{R}^2 \\ \left(x,y,z\right) & \longmapsto & \left(x+y,y-z\right) \end{array} \right.\).

Dans le \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel  \(E=\mathbb{R}^3\) muni de sa base canonique \(e\), on considère la famille de vecteurs \(\varepsilon=\left(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3\right)\) donnés par \(\varepsilon_1=\left(1,0,2\right)\), \(\varepsilon_2=\left(0,1,1\right)\), \(\varepsilon_3=\left(1,0,1\right)\). Posons \(F=Vect\left(\varepsilon_1,\varepsilon_2\right)\) et \(G=Vect\left(\varepsilon_3\right)\).

Soit \(E=\mathbb{R}^3\), \(\varepsilon_1=\left(0,0,1\right)\), \(\varepsilon_2=\left(1,1,1\right)\) et \(\varepsilon_3=\left(0,1,1\right)\). On pose : \(F=Vect\left(\varepsilon_1,\varepsilon_2\right)\) et \(G=Vect\left(\varepsilon_3\right)\).

Soient \(A=\left( \begin {array}{ccc} 2&1&-2\\0&1&0 \\4&1&-4\end {array} \right)\) et \(e=\left(e_1,e_2,e_3\right)\) la base canonique de \(\mathbb{R}^3\). Soit \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^3\) représenté par \(A\) dans la base \(e\). On pose \(\varepsilon_1=\left(1,0,1\right), \quad \varepsilon_2=\left(0,1,0\right),\quad \varepsilon_3=\left(1,0,2\right) \quad \textrm{ et} \quad \varepsilon=\left(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3\right)\).

Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel muni d’une base \(e=\left(e_1,e_2,e_3\right)\). On considère \(f\) l’endomorphisme de \(E\) dont la matrice dans la base \(e\) est \(A=\left( \begin {array}{ccc} 3&-2&-4\\1&0&-2 \\1&-1&-1\end {array} \right)\)

Soit \(e=\left(e_1,e_2,e_3\right)\) la base canonique de \(\mathbb{R}^3\) et soit \(A= \left( \begin {array}{ccc} 2&4&4\\0&4&2 \\0&-4&-2\end {array} \right)\). Notons \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^3\) dont la matrice dans la base \(e\) est \(A\).

Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel  muni d’une base \(e=\left(e_1,e_2,e_3\right)\). On considère \(u\in\mathfrak{L}\left(E\right)\) représenté dans la base \(e\) par la matrice \(A= \left( \begin {array}{ccc} 1&0&0\\1&2&0 \\-1&0&2\end {array} \right)\).

On considère le \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel  \(E=\mathbb{R}^3\) muni de sa base canonique \(e=\left(e_1,e_2,e_3\right)\). Soit \(u\) l’endomorphisme de \(E\) représenté dans la base \(e\) par la matrice \(A=\left( \begin {array}{ccc} 0&-2&1\\-3&-1&3 \\-2&-2&3\end {array} \right)\). Le but de cet exercice est de trouver une base \(\varepsilon\) de \(E\) tel que dans cette base la matrice de \(u\) est diagonale. On dira alors qu’on a diagonalisé \(u\).

Soit \(E=\mathbb{R}^{2}\). Déterminer tous les endomorphismes \(u \in L(E)\) tels que : \[\operatorname{Ker}(u)=\mathop{\mathrm{Vect}}(1,2), \textrm{ et } \mathop{\mathrm{Im}}u=\mathop{\mathrm{Vect}}(1,1)\]

matrice_carree_de_rang1