Structure formée de matrices

  1. Les exercices
  2. Vue liste

Dans le dossier «Structure formée de matrices»

Structure formée de matrices
Les exercices
Lire la suite

Exercices dans ce dossier

Exercice

Exercice 235 *

1 avril 2021 11:48 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit l’ensemble \[{\mathcal{J}=\left\{ \left ( \begin{array}{ll} x&x\\ x&x \end{array} \right )\in \mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{R}\right)~\mid~ x\in \mathbb{R}\setminus\left\{0\right\} \right\}.}\] Montrer que, muni de la multiplication usuelle des matrices, \(\mathcal{J}\) est un groupe abélien.
Exercice

Exercice 236 *

1 avril 2021 11:48 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Pour la multiplication usuelles des matrices carrées, les ensembles suivants sont-ils des groupes : \[{ \textrm{ GL}(2,\mathbb{R})\cap\mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{Z}\right),\quad \left\{M\in\mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{Z}\right)~\mid~\mathop{\rm det}M=1\right\} \textrm{ ?} }\]
Exercice

Exercice 107 *

1 avril 2021 11:48 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

  1. L’ensemble \(E=\left\{\left(\begin{smallmatrix} a&0\\0&0 \end{smallmatrix}\right) :a\in \mathbb{R}\setminus\left\{0\right\}\right\}\) muni de la loi de multiplication usuelle des matrices de \(\mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{R}\right)\) est-il un groupe ?

  2. L’ensemble \(\mathcal{S}_2(\mathbb{R})\) des matrices symétriques réelles d’ordre \(2\) muni de la loi de multiplication usuelle des matrices de \(\mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{R}\right)\) est-il un groupe ?
Exercice

Exercice 618 *

1 avril 2021 11:48 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

  1. L’ensemble des matrices \(\begin{pmatrix} a & c \cr b & d \cr \end{pmatrix}\) avec \(a,b,c,d\in {\mathbb{R}}\) tels que \(ad-bc\not = 0\) et \(a^2-b^2-c^2-d^2 \leqslant 1\) est il un sous-groupe de \(Gl_2({\mathbb{R}})\) ?

  2. L’ensemble des matrices \(\begin{pmatrix} a & b \cr 0 & a^{-1} \cr \end{pmatrix}\) avec \(a\in {\mathbb{R}}^*\) et \(b\in {\mathbb{R}}\) est-il un sous-groupe de \(Gl_2({\mathbb{R}})\) ?

  3. Existe-t-il une valeur \(M\in {\mathbb{R}}\) telle que l’ensemble des matrices \(\begin{pmatrix} a & c \cr b & d \cr \end{pmatrix}\) avec \(a,b,c,d\in {\mathbb{R}}\) tels que \(ad-bc\not = 0\) et \(a\leqslant M\) forme un sous-groupe de \(Gl_2({\mathbb{R}})\) ?
Exercice

Exercice 264 *

1 avril 2021 11:48 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soient les ensembles \[{L=\left\{ \left ( \begin{array}{ll} x&0\\ 0&0 \end{array} \right )\in \mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{R}\right)~\mid~ x\in \mathbb{R} \right\}\textrm{ et } M=\left\{ \left ( \begin{array}{ll} x&x\\ -x&-x \end{array} \right )\in \mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{R}\right)~\mid~x\in \mathbb{R} \right\}}.\]

Étudier si, munis des lois usuelles, \(L\) et \(M\) sont des anneaux, des corps.
Exercice

Exercice 806 *

1 avril 2021 11:48 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit la matrice \(A=\begin{pmatrix} 1&1 \\ -1&1 \end{pmatrix}\). On note \(\mathcal{C}\) l’ensemble des matrices qui commutent avec \(A\).
Montrer que \(\mathcal{C}\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathfrak{M}_{2}(\mathbb{R})\) et déterminer sa dimension.
Exercice

Exercice 833 *

1 avril 2021 11:48 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Posons : \[I=\left(\begin{array}{cc} 1&0\\ 0&1 \end{array}\right) \quad \textrm{ et} \quad J=\left(\begin{array}{cc} 0&-1\\ 1&0 \end{array}\right)\] et \(E=\left\{xI+yJ ~|~ \left(x,y\right)\in \mathbb{R}^2\right\}\). Vérifier que \(J^2=-I\) et montrer que l’application \(\theta: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{C} & \longrightarrow & E \\ x+iy & \longmapsto & xI+yJ \end{array} \right.\) est un isomorphisme de corps.
Exercice

Exercice 374 **

1 avril 2021 11:48 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(c>0\). \[M(x) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - {\scriptstyle x^2\over\scriptstyle c^2}}} \left(\begin{array}{cc} 1 & \dfrac xc \\ \dfrac xc & 1 \end{array}\right) \;;\; x \in ]-c;c[.\] Démontrer que cet ensemble de matrices est un sous-groupe. (de quoi ?)
Exercice

Exercice 306 **

1 avril 2021 11:48 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On considère le sous-espace vectoriel \(V\) de \(\mathfrak{M}_{3}(\mathbb{\mathbb{R} })\) engendré par les matrices \[A = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1\end{pmatrix} \quad\textrm{ et } \quad B = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}\] Montrez qu’aucun élément de \(V\) n’est inversible. Montrez que \((V, +, \times)\) est un corps isomorphe à \(\mathbb{C}\).
Exercice

Exercice 153 ***

1 avril 2021 11:48 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Pour tout \(\forall \vartheta \in \mathbb R\), on pose \(\Gamma _{\vartheta }= \left(\begin{array}{ccc} \cos^{2}\vartheta &-\sin2\vartheta &\sin^{2}\vartheta \\ \cos\vartheta .\sin\vartheta &\cos2\vartheta &-\sin\vartheta .\cos\vartheta \\ \sin^{2}\vartheta &\sin2\vartheta &\cos^{2}\vartheta \end{array}\right)\)

  1. Démontrer que \(\Gamma = \{ \Gamma _{\vartheta }, \vartheta \in \mathbb R \}\) est un groupe.

  2. Calculer \(\mathop{\rm det}\Gamma _{\vartheta }\).
Exercice

Exercice 917 *

1 avril 2021 11:48 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Pour chacun des sous-ensembles suivants :

  1. Montrer que c’est un sous-espace vectoriel de \(E=\mathfrak{M}_{3}\left(\mathbb{R}\right)\).

  2. En donner une base et la dimension.

\[F_1=\left\{\left(\begin{array}{ccc} a&-b&a\\ b&-a&b\\ a&-b&a \end{array}\right) ~|~ a,b\in \mathbb{R}\right\} \quad \textrm{ et} \quad F_2=\left\{\left(\begin{array}{ccc} 2a&c-b&a\\ 3b+c&a-b&a+2c\\ a+3c&b&-a-c \end{array}\right) ~|~ a,b,c\in \mathbb{R}\right\}\]
Exercice

Exercice 140 *

1 avril 2021 11:48 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(E\) l’ensemble des matrices de \(\mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{K}\right)\) de la forme : \(A=\left(\begin{array}{cc} a+b & b \\ -b & a-b \end{array}\right)\) avec \(\left(a,b\right)\in\mathbb{K}^2\).

  1. Montrer que \(E\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{K}\right)\). Donner une base de \(E\).

  2. Montrer que \(E\) est un sous-anneau commutatif de \(\mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{K}\right)\).

  3. Déterminer les éléments inversibles de \(E\).

  4. Déterminer les diviseurs de zéro de \(E\).
Exercice

Matrices magiques **

1 avril 2021 11:48 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Une matrice \(A=\left(a_{i,j}\right)\) de \(\mathfrak{M}_{3}\left(\mathbb{R}\right)\) est dite magique si elles vérifie les \(4\) conditions suivantes :

  1. Pour tout \(j\in\left\{1,2,3\right\}\), on a : \(\displaystyle{\sum_{i=1}^3 a_{ij}=0}\).

  2. Pour tout \(i\in\left\{1,2,3\right\}\), on a : \(\displaystyle{\sum_{j=1}^3 a_{ij}=0}\).

  3. On a : \(\displaystyle{\sum_{i=1}^3 a_{ii}=0}\).

  4. \(a_{13}+a_{22}+a_{31}=0\).

On notera \(\mathscr M\) l’ensemble des matrices magiques.

  1. Montrer que l’ensemble des matrices magiques possède une structure de \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel.

  2. Montrer que si \(M\in \mathscr M\) alors \({M}^{\mathrm{T}}\in \mathscr M\).

  3. Caractériser les matrices magiques antisymétriques et les matrices symétriques. On notera \(\mathscr A\) l’ensemble des matrices magiques antisymétriques et \(\mathscr S\) l’ensemble des matrices magiques symétriques.

  4. Prouver que \(\mathscr A\oplus \mathscr S=\mathscr M\).

  5. Interpréter le résultat obtenu.
Exercice

Extrait des petites Mines 2006 * Mines-Ponts

1 avril 2021 11:48 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

I-Étude de deux ensembles de matrices

Soit \(\left(x,y\right)\) un élément quelconque de \(\mathbb{R}^2\). On note \(M_{x,y}\) la matrice \[\begin{pmatrix} x-y & y\\ 2 & x+y \end{pmatrix}\] Soit \(\Sigma\) le sous-ensemble de \(\mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{R}\right)\) tel que \(\Sigma=\left\{M_{x,y}~|~\left(x,y\right)\in\mathbb{R}^2\right\}\).

  1. Quelle relation doivent vérifier \(x\) et \(y\) pour que la matrice \(M_{x,y}\) ne soit pas inversible ? Calculer le produit \(M_{x,y}\times M_{-x,y}\). En déduire l’inverse de \(M_{x,y}\) lorsqu’il existe.

  2. \(\Sigma\) est-il un sous-espace vectoriel de \(\left(\mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{R}\right),+,.\right)\) ? On justifiera sa réponse.

    Soit \(A=\begin{pmatrix}0&0\\-2&0\end{pmatrix}\in\mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{R}\right)\) et \(J=\left\{A+M_{x,y}~|~\left(x,y\right)\in\mathbb{R}^2\right\}\).

  3. Montrer que \(J\) est un sous-espace vectoriel de \(\left(\mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{R}\right),+,.\right)\).

  4. Quelle est la dimension de \(J\) ? Déterminer une base de \(J\).

  5. Montrer que la loi \(\times\) est interne dans \(J\).

II - Étude d’une application de \(\mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{R}\right)\)

Soit \(B\) une matrice quelconque de \(\mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{R}\right)\). Soit \(\varphi_B\) l’application de \(\mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{R}\right)\) dans \(\mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{R}\right)\) qui à la matrice \(X\) associe la matrice \(\varphi_B\left(X\right)=B\times X\).

  1. Montrer que \(\varphi_B\) est un endomorphisme de l’espace vectoriel \(\left(\mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{R}\right),+,.\right)\).

  2. On suppose dans cette question que \(B=M_{2,1}=\begin{pmatrix}1&1\\2&3\end{pmatrix}\).

    1. \(\varphi_B\) est elle surjective ? Bijective ?

    2. Déterminer la matrice de \(\varphi_B\) dans la base canonique de \(\mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{R}\right)\).
      On rappelle que la base canonique de \(\mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{R}\right)\) est constituée des matrices \(\left(E_{1,1},E_{1,2},E_{2,1},E_{2,2}\right)\) où \[E_{1,1}=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix} \quad E_{1,2}=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix} \quad E_{2,1}=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix} \quad \textrm{ et} \quad E_{2,2}=\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}\]

  3. On prend dans cette question \(B=M_{0,-2}=\begin{pmatrix}2&-2\\2&-2\end{pmatrix}\). \(\varphi_B\) est-elle surjective ? Bijective ?
Exercice

Exercice 773 **

1 avril 2021 11:48 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit une sous-algèbre \(\mathcal{A}\) de l’algèbre \(L(E)\). On suppose que \(\forall f \in L(E)\), \(f^2 \in \mathcal{A} \Rightarrow f \in \mathcal{A}\). Montrer que \(\mathcal{A} = L(E)\).
Exercice

Matrices en damier **

11 avril 2024 17:53 — Par Michel Quercia

Soit \(M = (a_{ij}) \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}})\). On dit que \(M\) est en damier si \(a_{ij} = 0\) pour \(j-i\) impair. On note \(\mathcal D\) l’ensemble des matrices \(n\times n\) en damier. Montrer que \(\mathcal D\) est une sous-algèbre de \(\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}})\). Quelle est sa dimension ?
Exercice

Algèbre de matrices **

11 avril 2024 17:53 — Par Michel Quercia

On note \(U = \begin{pmatrix}1 &\dots&1 \\ \vdots & &\vdots \\ 1 &\dots&1\end{pmatrix} \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R}})\) et \(\mathcal A = \{ aU + bI \text{ tq }a,b \in \mathbb{R}\}\) pour \(n \geq 2\).

  1. Montrer que \(\mathcal A\) est une sous algèbre commutative de \(\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R}})\).

  2. Soit \(M = aU+bI \in \mathcal A\). Montrer que \(M\) possède un inverse dans \(\mathcal A\) si et seulement si \(b(b+na) \neq 0\), et le cas échéant, donner \(M^{-1}\).

  3. Montrer que si \(b(b+na) = 0\), alors \(M\) n’est pas inversible dans \(\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R}})\).

  4. Trouver les matrices \(M \in \mathcal A\) vérifiant : \(M^n = I\).
Exercice

Centre de \(GL_n(\mathbb{K})\) **

11 avril 2024 17:53 — Par Michel Quercia

On suppose \(\mathop{\rm car}\nolimits(\mathbb{K})\neq 2\) et on note \((E_{ij})\) la base canonique de \(\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}})\).

  1. Montrer que \(F_{ij} = I + E_{ij}\) est inversible.

  2. En déduire que \(\mathop{\rm vect}\nolimits(GL_n(\mathbb{K})) = \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}})\).

  3. Quel est le centre de \(GL_n(\mathbb{K})\) ?
Exercice

Centre de \(GL_n(\mathbb{K})\) **

11 avril 2024 17:53 — Par Michel Quercia

Soit \(f \in \mathcal L (E)\) ayant même matrice dans toutes les bases de \(E\). Montrer que \(f\) est une homothétie.
Exercice

Centre des matrices triangulaires unipotentes **

11 avril 2024 17:53 — Par Michel Quercia

On note \(\mathcal G = \{ A = (a_{ij}) \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}})\) tq \(a_{ij} = 0\) si \(i>j\) et \(a_{ii} = 1\}\).

  1. Montrer que \(\mathcal G\) est un sous-groupe de \(GL_n(\mathbb{K})\).

  2. En utilisant la base canonique de \(\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}})\), déterminer le centre de \(\mathcal G\) et montrer que c’est un groupe commutatif isomorphe à \((\mathbb{K},+)\).
Exercice

Commutant d’une matrice diagonale **

11 avril 2024 17:53 — Par Michel Quercia

Soit \(A \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}})\) et \(\mathcal C _A = \{ M \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}}) \text{ tq }AM = MA\}\) (commutant de \(A\)).

  1. Montrer que \(\mathcal C _A\) est une sous-algèbre de \(\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}})\).

  2. Soit \(A = \mathop{\rm diag}\nolimits(\lambda _{1}, \lambda _{2},\dots, \lambda _n)\) une matrice diagonale dont tous les \(\lambda _i\) sont distincts.

    1. Chercher \(\mathcal C _A\).

    2. On suppose \(\mathop{\rm card}\nolimits(\mathbb{K})\geq n\). Soit \(\varphi : \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}}) \rightarrow \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}}) , M \mapsto MA-AM.\) Montrer que \(\mathop{\rm Im}\nolimits\varphi\) est l’ensemble des matrices à diagonale nulle.
Exercice

Matrices magiques **

11 avril 2024 17:53 — Par Michel Quercia

Une matrice carrée \(M\) est dite magique si les sommes des coefficients de \(M\) par ligne et par colonne sont constantes. On note \(s(M)\) leur valeur commune.

Soit \(U = \begin{pmatrix}1 &\dots&1 \\ \vdots & &\vdots \\ 1 &\dots&1 \\\end{pmatrix}\) et \(\mathcal M = \{\)matrices \(n\times n\) magiques\(\}\).

  1. Montrer que \(\mathcal M\) est une sous-algèbre de \(\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}})\) et \(s:\mathcal M \to \mathbb{K}\) est un morphisme d’algèbre (calculer \(MU\) et \(UM\)).

  2. Si \(M\) est magique inversible, montrer que \(M^{-1}\) est aussi magique.

  3. Montrer que si \(\mathop{\rm car}\nolimits(\mathbb{K})\neq 2\), \(\mathcal M\) est la somme directe du sev des matrices magiques symétriques et du sev des matrices magiques antisymétriques.

  4. Pour \(M \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}})\), on note \(\varphi _M\) l’endomorphisme de \(\mathbb{K}^n\) canoniquement associé à \(M\).

    Soit \(\mathcal H = \{ (x_{1},\dots,x_n) \in \mathbb{K}^n \text{ tq }x_{1} +\dots+ x_n = 0\}\) et \(\mathcal K = \{ (x,\dots,x) \in \mathbb{K}^n \}\).

    1. Montrer que : \(M \in \mathcal M \Leftrightarrow \mathcal H\) et \(\mathcal K\) sont stables par \(\varphi _M\).

    2. En déduire dim(\(\mathcal M\)).
Exercice

Quaternions **

11 avril 2024 17:53 — Par Michel Quercia

Montrer que \(\mathcal C = \left\{ M = \begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix} \in \mathcal M _2(\mathbb{R}) \right\}\) est un corps isomorphe à \(\mathbb{C}\).

Montrer que \(\mathcal H = \left\{ M = \begin{pmatrix}a&b\\-\bar b&\bar a\end{pmatrix} \in \mathcal M _2(\mathbb{C}) \right\}\) est un anneau non commutatif où tout élément non nul est inversible.
Exercice

Groupes de matrices **

11 avril 2024 17:53 — Par Michel Quercia

Soit \(\mathcal G \subset \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}})\) tel que pour la multiplication, \(\mathcal G\) soit un groupe. On note \(J\) l’élément neutre et pour \(M \in \mathcal G\), \(\varphi _M\) l’endomorphisme de \(\mathbb{K}^n\) canoniquement associé à \(M\).

  1. Montrer que \(\varphi _J\) est une projection.

  2. Montrer que : \(\forall M \in \mathcal G\), \(\varphi _{M|\mathop{\rm Ker}\nolimits\varphi _J} = 0\) et \(\varphi _{M|\mathop{\rm Im}\nolimits\varphi _J}\) est un isomorphisme de \(\mathop{\rm Im}\nolimits\varphi _J\).

  3. On note \(k=\mathop{\rm rg}\nolimits(J)\). Montrer que \(\mathcal G\) est isomorphe à un sous-groupe de \(GL_k(\mathbb{K})\).
Exercice

Idéaux de \(\mathfrak M_n (\mathbb K)\) **

11 avril 2024 17:53 — Par Michel Quercia

Une partie \(\mathcal I \subset \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}})\) est appelée idéal à droite de \(\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}})\) si c’est un sous-groupe additif vérifiant : \[\forall A \in \mathcal I ,\ \forall B \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}}) ,\ AB \in \mathcal I .\]

Pour \(A \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}})\), on note \(\mathcal H_A\) le sev de \(\mathcal M _{n,1}(\mathbb{K})\) engendré par les colonnes de \(A\), et \(\mathcal I _A\) l’idéal à droite engendré par \(A\) : \(\mathcal I _A = \{ AM \text{ tq }M \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}}) \}\).

  1. Soient \(A,M \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}})\). Montrer que : \(M \in \mathcal I _A \Leftrightarrow \mathcal H_M \subset \mathcal H_A\).

  2. Soient \(A,B \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}})\). Montrer qu’il existe \(C \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}})\) telle que \(\mathcal H_A + \mathcal H_B = \mathcal H_C\). Simplifier alors \(\mathcal I _A + \mathcal I _B\).

  3. Soit \(\mathcal I\) un idéal à droite de \(\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}})\). Montrer que \(\mathcal I\) est un sev de \(\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}})\), puis qu’il existe \(A \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}})\) telle que \(\mathcal I = \mathcal I _A\).

  4. Que peut-on dire des idéaux à gauche de \(\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}})\) ?
Exercice

Matrices antisymétriques **

11 avril 2024 17:53 — Par Michel Quercia

Soit \(E = \{\)matrices de \(\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R}})\) antisymétriques\(\}\) et \(f : E \rightarrow E, M \mapsto ^tAM+MA\) où \(A \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R}})\).

  1. Montrer que \(f\) est un endomorphisme.

  2. Quelle est la trace de \(f\) ?
Exercice

Matrice compagne **

11 avril 2024 17:53 — Par Michel Quercia

Soit \(A = \begin{pmatrix}a_{1} &1 &0 &\dots&0 \\ a_{2} &0 &1 &\ddots &\vdots \\ \vdots &\vdots &\ddots &\ddots &0 \\ \vdots &\vdots & &\ddots &1 \\ a_n &0 &\dots&\dots&0 \\\end{pmatrix} \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}})\) et \(\mathcal C (A)\) son commutant.

Montrer que pour \(M,N \in \mathcal C (A)\) on a : \(M=N \Leftrightarrow M\) et \(N\) ont la même dernière colonne. En déduire que \(\mathcal C (A) = \mathbb{K}_{n-1}[A]\).
Exercice

Homographies **

11 avril 2024 17:53 — Par Michel Quercia

Pour \(M = \begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix} \in GL_{2}(\mathbb{R}\), on note \(f_M : \mathbb{R}\cup \{ \infty \} \rightarrow \mathbb{R}\cup \{ \infty \} , x \mapsto \dfrac {ax+b}{cx+d}.\)

Montrer que \(M \mapsto f_M\) est un morphisme de groupes de \(GL_{2}(\mathbb{R})\) dans \(\mathcal S _{\mathbb{R}\cup \{ \infty \} }\). Quel est son noyau ?
Exercice

Conjugaison **

11 avril 2024 17:53 — Par Michel Quercia

  1. Soit \(P \in GL_n(\mathbb{K})\). Montrer que l’application \(\varphi _P : \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}}) \rightarrow \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}}) , M \mapsto P^{-1}MP\) est un isomorphisme d’algèbre.

  2. Soit \(\varphi\) : \(A = (a_{ij}) \mapsto A' = (a_{n+1-i,n+1-j})\).

    1. Montrer que \(\varphi\) est un isomorphisme d’algèbre de \(\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}})\).

    2. Trouver une matrice \(P \in GL_n(\mathbb{K})\) telle que \(\varphi = \varphi _P\).

Les-Mathematiques.net Mathématiques vivantes

Thématiques

;
Success message!