Structure formée de matrices

Exercices dans ce dossier

Exercice

Extrait des petites Mines 2006 * Mines-Ponts

1 avril 2021 11:48 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

I-Étude de deux ensembles de matrices

Soit \(\left(x,y\right)\) un élément quelconque de \(\mathbb{R}^2\). On note \(M_{x,y}\) la matrice \[\begin{pmatrix} x-y & y\\ 2 & x+y \end{pmatrix}\] Soit \(\Sigma\) le sous-ensemble de \(\mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{R}\right)\) tel que \(\Sigma=\left\{M_{x,y}~|~\left(x,y\right)\in\mathbb{R}^2\right\}\).

  1. Quelle relation doivent vérifier \(x\) et \(y\) pour que la matrice \(M_{x,y}\) ne soit pas inversible ? Calculer le produit \(M_{x,y}\times M_{-x,y}\). En déduire l’inverse de \(M_{x,y}\) lorsqu’il existe.

  2. \(\Sigma\) est-il un sous-espace vectoriel de \(\left(\mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{R}\right),+,.\right)\) ? On justifiera sa réponse.

    Soit \(A=\begin{pmatrix}0&0\\-2&0\end{pmatrix}\in\mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{R}\right)\) et \(J=\left\{A+M_{x,y}~|~\left(x,y\right)\in\mathbb{R}^2\right\}\).

  3. Montrer que \(J\) est un sous-espace vectoriel de \(\left(\mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{R}\right),+,.\right)\).

  4. Quelle est la dimension de \(J\) ? Déterminer une base de \(J\).

  5. Montrer que la loi \(\times\) est interne dans \(J\).

II - Étude d’une application de \(\mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{R}\right)\)

Soit \(B\) une matrice quelconque de \(\mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{R}\right)\). Soit \(\varphi_B\) l’application de \(\mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{R}\right)\) dans \(\mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{R}\right)\) qui à la matrice \(X\) associe la matrice \(\varphi_B\left(X\right)=B\times X\).

  1. Montrer que \(\varphi_B\) est un endomorphisme de l’espace vectoriel \(\left(\mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{R}\right),+,.\right)\).

  2. On suppose dans cette question que \(B=M_{2,1}=\begin{pmatrix}1&1\\2&3\end{pmatrix}\).

    1. \(\varphi_B\) est elle surjective ? Bijective ?

    2. Déterminer la matrice de \(\varphi_B\) dans la base canonique de \(\mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{R}\right)\).
      On rappelle que la base canonique de \(\mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{R}\right)\) est constituée des matrices \(\left(E_{1,1},E_{1,2},E_{2,1},E_{2,2}\right)\)\[E_{1,1}=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix} \quad E_{1,2}=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix} \quad E_{2,1}=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix} \quad \textrm{ et} \quad E_{2,2}=\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}\]

  3. On prend dans cette question \(B=M_{0,-2}=\begin{pmatrix}2&-2\\2&-2\end{pmatrix}\). \(\varphi_B\) est-elle surjective ? Bijective ?

;
Success message!