Représentation matricielle d'une application linéaire

Dans le dossier «Représentation matricielle d'une application linéaire»

Représentation matricielle d'une application linéaire

Les exercices

$\bullet$Exercice 496 *
$\bullet$Exercice 646 *
$\bullet$Exercice 1029 *
$\bullet$Exercice 920 *
$\bullet$Exercice 908 **
$\bullet$Exercice 192 **
$\bullet$Exercice 996 **
$\bullet$Exercice 65 ***

Exercices dans ce dossier

Exercice 496 *

1 avril 2021 11:46 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Pour chacune des applications linéaires suivantes :

vérifier que \(u\) est linéaire.
déterminer sa matrice dans les bases canoniques des espaces vectoriels considérés.
déterminer son rang.
Déterminer \(u^{-1}\) quand cette application existe.
calculer l’image du vecteur \(V\) donné en utilisant cette matrice.

\(u: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}^3 & \longrightarrow & \mathbb{R}^2 \\ \left(x,y,z\right) & \longmapsto & \left(x+y+z,x-2y-3z\right) \end{array} \right.\) et \(V=\left(0,1,-1\right)\)..
\(u: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}^3 & \longrightarrow & \mathbb{R}^3 \\ \left(x,y,z\right) & \longmapsto & \left(x+z,y-z,z-x\right) \end{array} \right.\) et \(V=\left(1,2,-1\right)\).
On pose \(\overrightarrow{v}=\left(1,1,1\right)\). \(u: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}^3 & \longrightarrow & \mathbb{R}^3 \\ \overrightarrow{u} & \longmapsto & \overrightarrow{u} \wedge \overrightarrow{v} \end{array} \right.\) et \(V=\left(-1,0,2\right)\).
\(u: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}_3\left[X\right] & \longrightarrow & \mathbb{R}_3\left[X\right] \\ P & \longmapsto & XP'\left(X\right) -P \end{array} \right.\) et \(V=X^3-3X^2+X-1\).
\(u: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}_2\left[X\right] & \longrightarrow & \mathbb{R}^3 \\ P & \longmapsto & \left(P\left(0\right),P\left(1\right),P\left(2\right)\right) \end{array} \right.\) et \(V=X^2-X+1\).
\(u: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{R}\right) & \longrightarrow & \mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{R}\right) \\ M & \longmapsto & {M}^{\mathrm{T}} \end{array} \right.\) et \(V= \begin{pmatrix} 1&-1\\ 0&1 \end{pmatrix}\).
\(u: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{R}\right) & \longrightarrow & \mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{R}\right) \\ M & \longmapsto & EM \end{array} \right.\) où \(E=\begin{pmatrix} 1&1\\ 0&1 \end{pmatrix}\) et \(V= \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{pmatrix}\)

Exercice 646 *

1 avril 2021 11:46 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit l’endomorphisme \(\varphi: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}_n\left[X\right] & \longrightarrow & \mathbb{R}_n\left[X\right] \\ P & \longmapsto & P'' \end{array} \right.\).

Montrer que \(\varphi\) est linéaire.
Écrire la matrice de \(\varphi\) dans la base canonique de \(\mathbb{R}_n\left[X\right]\).

Exercice 1029 *

1 avril 2021 11:46 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(\varphi: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}_3\left[X\right] & \longrightarrow & \mathbb{R}_3\left[X\right] \\ P & \longmapsto & XP'+P \end{array} \right.\).

Prouver que \(\varphi\in\mathfrak{L}\left(\mathbb{R}_3\left[X\right]\right)\).
Calculer la matrice de \(\varphi\) dans la base canonique de \(\mathbb{R}_3\left[X\right]\).
Démontrer que cette matrice est inversible et calculer son inverse.
En déduire que \(\varphi\) est bijective et calculer l’image réciproque de chacun des éléments de la base canonique de \(\mathbb{R}_3\left[X\right]\) par \(\varphi\).

Exercice 920 *

1 avril 2021 11:46 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On considère l’espace vectoriel \(E=\mathcal{C}^{\infty}\left(\mathbb{R}\right)\) et les vecteurs \(f_1,f_2,f_3,f_4\in E\) donnés par : \[f_1:x\mapsto \mathop{\mathrm{ch}}x,\quad f_2:x\mapsto \mathop{\mathrm{sh}} x ,\quad f_3:x \mapsto x\mathop{\mathrm{ch}}x \quad \textrm{ et} \quad f_4: x \mapsto x\mathop{\mathrm{sh}}x\]

Déterminer la dimension du sous-espace vectoriel \(F\) de \(E\) engendré par la famille \(f=\left(f_1,f_2,f_3,f_4\right)\).
Soit \(\varphi:f \mapsto f'''-2f''+f'-f\). Montrer que \(\varphi\in\mathfrak{L}\left(E\right)\).
Déterminer la matrice de \(\varphi\) dans la base \(f\).
\(\varphi\) est-elle un automorphisme de \(F\) dans \(F\)? Si oui, déterminer la matrice de \(\varphi^{-1}\) dans la base \(f\).
Trouver une solution particulière de l’équation différentielle : \(f'''-2f''+f'-f = \mathop{\mathrm{sh}}x + x \mathop{\mathrm{ch}}x\).

Exercice 908 **

1 avril 2021 11:46 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On considère un \(\mathbb{C}\)-espace vectoriel \(E\) de dimension \(3\) et \(f\) un endomorphisme non nul de \(E\). Montrez que \(f^2 = 0\) si et seulement s’il existe une base \(e\) de \(E\) telle que \[\mathop{\mathrm{Mat}}_{e}(f) = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\]

Exercice 192 **

1 avril 2021 11:46 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On considère la matrice \(A=\left(a_{ij}\right)\in\mathfrak{M}_{n+1}\left(\mathbb{R}\right)\) donnée par : \(\forall \left(i,j\right)\llbracket 1,n+1\rrbracket,\quad a_{ij}=\binom{j-1}{i-1}\). On suppose que \(A\) est la matrice d’un endomorphisme \(\theta\in\mathfrak{L}\left(\mathbb{R}_n\left[X\right]\right)\) dans la base canonique \(e=\left(1,X,\dots,X^n\right)\) de \(\mathbb{R}_n\left[X\right]\).

Soit \(P\in\mathbb{R}_n\left[X\right]\). Expliciter \(\theta\left(P\right)\).
En déduire que \(A\) est inversible et calculer \(A^{-1}\).
Calculer \(A^m\) pour tout \(m\in\mathbb{N}\).

Exercice 996 **

1 avril 2021 11:46 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(A \in \mathfrak{M}_{2}(\mathbb{\mathbb{R} })\). On définit l’application \[f_A : \left\{ \begin{array}{ccl} \mathfrak{M}_{2}(\mathbb{\mathbb{R} }) & \longrightarrow & \mathfrak{M}_{2}(\mathbb{\mathbb{R} }) \\ X & \longmapsto & AX \end{array} \right.\]

Vérifier que \(f_A\) est un endomorphisme de \(\mathfrak{M}_{2}(\mathbb{\mathbb{R} })\), et déterminer sa matrice dans la base canonique de \(\mathfrak{M}_{2}(\mathbb{\mathbb{R} })\).
Comparer \(\mathop{\mathrm{rg}}f_A\) et \(\mathop{\mathrm{rg}}u_A\) où \(u_A\) est l’unique endomorphisme de matrice \(A\) dans la base canonique de \(\mathbb{R}^{2}\).

Exercice 65 ***

1 avril 2021 11:46 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(A\in {\mathfrak M}_{n}(\mathbb R)\) définie par \(a_{ij}= (-1)^{i}. \left(\begin{array}{c} n-j-1 \newline i\end{array}\right) (0\leqslant i,j\leqslant n-1)\).

Démontrer que \(A^{3}= (-1)^{n-1}I_{n}\).

On pourra considérer \(L: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}_{n-1}\left[X\right] & \longrightarrow & \mathbb{R}_{n-1} \left[X\right] \\ P(X) & \longmapsto & (1-X)^{n-1}.P\left( {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 1-X}\right) \end{array} \right.\).
En déduire que \[\sum^{n-1}_{k=0} \sum^{n-1}_{\ell=0} (-1)^{i+k+\ell}\left(\begin{array}{c} n-k-1 \\ i\end{array}\right) \left(\begin{array}{c} n-\ell-1 \\ j\end{array}\right) \left(\begin{array}{c} n-j-1 \\ \ell \end{array}\right) = (-1)^{n-1}\delta _{ij}\] pour tout \((n,i,j)\in (\mathbb N^{*})^{3}\), \(i,j \leqslant n\).

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Success message!