Calcul des puissances d'une matrice

Dans le dossier «Calcul des puissances d'une matrice»

Calcul des puissances d'une matrice

Les exercices

$\bullet$Exercice 755 *
$\bullet$Exercice 256 *
$\bullet$Exercice 427 *
$\bullet$Exercice 478 *
$\bullet$Exercice 238 **
$\bullet$Exercice 794 **
$\bullet$Exercice 859 *
$\bullet$Exercice 569 *
$\bullet$Exercice 882 *
$\bullet$Exercice 288 *
$\bullet$Exercice 748 **
$\bullet$Matrices de Jordan **
$\bullet$Calcul de \(A^n\) par la formule du binôme **
$\bullet$Calcul de \(A^n\) par polynôme annulateur **
$\bullet$Calcul de \(A^k\) **
$\bullet$Suite récurrente linéaire matricielle **
$\bullet$\(A, A^2 , A^3\) données \(\Rightarrow A^p\) **
$\bullet$\(A > 0, X > 0\) et \(A^kX = X\) ** Polytechnique

Exercices dans ce dossier

Exercice 755 *

30 mars 2021 07:16 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Calculer \(A^n\) pour \(n\in \mathbb{N}^*\) et les matrices \(A\) suivantes :

\(A= \left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{array}\right)\)
\(A= \left(\begin{array}{cc} a & b \\ 0 & a \end{array}\right)\)
\(A= \left(\begin{array}{cc} 1&1 \\ 1&1 \end{array}\right)\)
\(A= \left(\begin{array}{cc} 1&-1 \\ -1&1 \end{array}\right)\)

Exercice 256 *

30 mars 2021 07:16 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Calculer les puissances de \(A = \left(\begin{array}{cc} 1&1 \\ 1&0\end{array}\right)\).
On pose : \(F_0 = 0\); \(F_1 = 1\); \(F_{n+2} = F_{n+1} + F_n\) (suite de Fibonacci) .
Démontrer que pour tous entiers naturels \(n\) et \(p\), \(F_{n+p} = F_{n+1}F_{p} + F_n F_{p-1}\).

Exercice 427 *

30 mars 2021 07:16 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(A=\left(\begin{array}{ccc} 1&2&-1\\ 0&1&1\\ 0&0&1 \end{array}\right)\)

Montrer que \(A-I_3\) est nilpotente d’ordre \(3\) (c’est-à-dire que \(\left(A-I_3\right)^2 \neq 0\) et que \(\left(A-I_3\right)^3 = 0\)
En déduire, en utilisant la formule du binôme de Newton \(A^n\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\).

Exercice 478 *

30 mars 2021 07:16 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Calculer \(A^n\) pour \(A=\left(\begin{array}{ccc} 1&-1&0\\ 0&1&-1\\ 0&0&1 \end{array}\right)\) de deux manières différentes.

Exercice 238 **

30 mars 2021 07:16 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On considère la matrice \(A=\left( \begin {array}{cc} 2&-1\\-2&3\end {array} \right)\)

Montrer que le polynôme \(X^2-5X+4\) est un polynôme annulateur de \(A\).
En déduire que \(A\) est inversible et calculer son inverse.
Pour \(n\geqslant 2\), déterminer le reste de la division euclidienne de \(X^n\) par \(X^2-5X+4\).
En déduire l’expression de \(A^n\) pour tout \(n\in \mathbb{N}\).

Exercice 794 **

30 mars 2021 07:16 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On considère la matrice \(J \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{R})\) remplie de \(1\) : \[J= \begin{pmatrix} 1 & \dots & 1 \\ \vdots & 1 & \vdots \\ 1 & \dots & 1 \end{pmatrix}\]

Calculer \(J^2\) puis pour \(k \in \mathbb N\), \(J^k\).
\(J\) est-elle inversible ?
On considère la matrice \[A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}\] Calculer les puissances successives de \(A\).

Exercice 859 *

30 mars 2021 07:16 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On considère la matrice \[A = \begin{pmatrix} -1 & a & a \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & -1 \end{pmatrix} \in \mathfrak{M}_{3}(\mathbb{\mathbb{R} })\] Calculer pour \(n \in \mathbb N\), \(A^n\).

Exercice 569 *

30 mars 2021 07:16 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On considère la matrice \[A = \begin{pmatrix} a & b \\ b & a \end{pmatrix}\] Calculer ses puissances \(A^n\) pour \(n \in \mathbb N\).

Exercice 882 *

30 mars 2021 07:16 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soient les matrices \(A=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)\), \(B=\left( \begin{array}{ccc} a & b & 0 \\ 0 & a & b \\ b & 0 & a \end{array}\right)\). Calculer les puissances des matrices \(A\) et \(B\).

Exercice 288 *

30 mars 2021 07:17 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit la matrice \(A= \begin{pmatrix} 5&-4 \\ 4&-3 \end{pmatrix}\). Calculer \(A^n\). (on décomposera \(A=I_2+4J\))

Exercice 748 **

30 mars 2021 07:17 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit la matrice \(H=((h_{ij})) \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{R})\) avec \(h_{ij}=1\). Calculer \(H^k\).
En déduire les puissances de la matrice \(A=((a_{ij}))\) où \(a_{ij}=(1-\delta_{ij})\).
Montrer que la matrice \(A\) est inversible en calculant son rang.
Trouver l’inverse de la matrice \(A\) (on le cherchera sous la forme \(aI+bH\)).

Matrices de Jordan **

30 mars 2021 07:17 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit la matrice \(J=\begin{pmatrix} 0 & 0 & \dots & &0 \\ 1 & 0 & & & \vdots \\ 0 & 1 & \ddots & & \\ & \ddots & \ddots & 0 & \vdots \\ 0 & \dots & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K} })\). Calculer les matrices \(J^2\) et \(J^n\) pour tout entier \(n\in \mathbb N\).
Calculer les puissances de la matrice \(A= \begin{pmatrix} a & 0 & \dots & & 0 \\ b & a & & & \vdots\\ 0 & b & \ddots& & \vdots\\ \vdots & \ddots & b & a & 0\\ 0 &\dots & 0 & b & a \end{pmatrix}\in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K} })\). Les matrices de cette forme sont appelées matrices de Jordan.

Calcul de \(A^n\) par la formule du binôme **

11 avril 2024 17:30 — Par Michel Quercia

Soit \(A = \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&1&1\\ 1&0&1\end{pmatrix}\). En écrivant \(A = I + J\), calculer \(A^n\), \(n \in \mathbb{Z}\).

Calcul de \(A^n\) par polynôme annulateur **

11 avril 2024 17:30 — Par Michel Quercia

Soit \(A = \begin{pmatrix}1 &2 &3\\ 2 &3 &1\\ 3 &1 &2\end{pmatrix}\).

Vérifier que \((A-6I)(A^2 -3I) = 0\).
Soit \(n\in \mathbb{N}\) et \(P_n\) le polynôme de degré inférieur ou égal à 2 tel que \(P(6) = 6^n\), \(P(\sqrt 3) = \sqrt 3^n\), et \(P(-\sqrt 3) = (-\sqrt 3)^n\). Montrer que \(A^n = P_n(A)\).
Même question pour \(n \in \mathbb{Z}\).

Calcul de \(A^k\) **

11 avril 2024 17:30 — Par Michel Quercia

Calculer \(A^k\) pour \(k \in \mathbb{N}\) :

\(A = \begin{pmatrix} 1&&{(2)}\\ &\ddots \\ {(2)}&&1\end{pmatrix}\).
\(A = \begin{pmatrix} 1 &2 &3 &4 \\ 0 &1 &2 &3 \\ 0 &0 &1 &2 \\ 0 &0 &0 &1 \\\end{pmatrix}\).
\(A = \begin{pmatrix}x^2 &xy &xz \\ xy &y^2 &yz \\ xz &yz &z^2 \\\end{pmatrix}\).

Suite récurrente linéaire matricielle **

11 avril 2024 17:30 — Par Michel Quercia

Soient \(A,B \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}})\). Exprimer en fonction de \(k\) le terme général de la suite \((M_k)\) de matrices de \(\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}})\) définie par : \(M_{0}\) est donnée, \(M_{k+1} = AM_k + B\).

\(A, A^2 , A^3\) données \(\Rightarrow A^p\) **

11 avril 2024 17:30 — Par Michel Quercia

Soit \(A \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}})\). On suppose qu’il existe \(\lambda ,\mu \in \mathbb{K}\) et \(U,V \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}})\) tels que : \(A = \lambda U + \mu V\), \(A^2 = \lambda ^2 U + \mu ^2 V\), \(A^3 = \lambda ^3U + \mu ^3V\).

Montrer que : \(\forall p \in \mathbb{N}^*\), \(A^p = \lambda ^pU + \mu ^pV\) (chercher une relation linéaire entre \(A\), \(A^2\), \(A^3\)).
On suppose ici \(\lambda \neq \mu\), \(\lambda \neq 0\) et \(\mu \neq 0\). Soit \(X\) un vecteur propre de \(A\). Montrer que \(X\) est vecteur propre de \(U\) et de \(V\) avec les valeurs propres \(0,0\) ou \(1,0\), ou \(0,1\).

\(A > 0, X > 0\) et \(A^kX = X\) ** Polytechnique

11 avril 2024 17:30 — Par Michel Quercia

Soit \(A \in \mathcal M _{n,p}(\mathbb{R})\). On dit que \(A\) est positive si tous ses coefficients sont strictement positifs.

Soit \(M \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R}})\) positive. On suppose qu’il existe \(X \in \mathcal M _{n,1}(\mathbb{R})\) positif et \(k\in \mathbb{N}^*\) tels que \(M^kX = X\). Montrer qu’il existe \(Y \in \mathcal M _{n,1}(\mathbb{R})\) positif tel que \(MY = Y\).

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Success message!