Calcul des puissances d'une matrice

Dans le dossier «Calcul des puissances d'une matrice»

Calcul des puissances d'une matrice

Les exercices

$\bullet$Exercice 755 *
$\bullet$Exercice 256 *
$\bullet$Exercice 427 *
$\bullet$Exercice 478 *
$\bullet$Exercice 238 **
$\bullet$Exercice 794 **
$\bullet$Exercice 859 *
$\bullet$Exercice 569 *
$\bullet$Exercice 882 *
$\bullet$Exercice 288 *
$\bullet$Exercice 748 **
$\bullet$Matrices de Jordan **

Exercices dans ce dossier

Exercice 755 *

30 mars 2021 07:16 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Calculer \(A^n\) pour \(n\in \mathbb{N}^*\) et les matrices \(A\) suivantes :

\(A= \left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{array}\right)\)
\(A= \left(\begin{array}{cc} a & b \\ 0 & a \end{array}\right)\)
\(A= \left(\begin{array}{cc} 1&1 \\ 1&1 \end{array}\right)\)
\(A= \left(\begin{array}{cc} 1&-1 \\ -1&1 \end{array}\right)\)

Exercice 256 *

30 mars 2021 07:16 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Calculer les puissances de \(A = \left(\begin{array}{cc} 1&1 \\ 1&0\end{array}\right)\).
On pose : \(F_0 = 0\); \(F_1 = 1\); \(F_{n+2} = F_{n+1} + F_n\) (suite de Fibonacci) .
Démontrer que pour tous entiers naturels \(n\) et \(p\), \(F_{n+p} = F_{n+1}F_{p} + F_n F_{p-1}\).

Exercice 427 *

30 mars 2021 07:16 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(A=\left(\begin{array}{ccc} 1&2&-1\\ 0&1&1\\ 0&0&1 \end{array}\right)\)

Montrer que \(A-I_3\) est nilpotente d’ordre \(3\) (c’est-à-dire que \(\left(A-I_3\right)^2 \neq 0\) et que \(\left(A-I_3\right)^3 = 0\)
En déduire, en utilisant la formule du binôme de Newton \(A^n\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\).

Exercice 478 *

30 mars 2021 07:16 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Calculer \(A^n\) pour \(A=\left(\begin{array}{ccc} 1&-1&0\\ 0&1&-1\\ 0&0&1 \end{array}\right)\) de deux manières différentes.

Exercice 238 **

30 mars 2021 07:16 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On considère la matrice \(A=\left( \begin {array}{cc} 2&-1\\-2&3\end {array} \right)\)

Montrer que le polynôme \(X^2-5X+4\) est un polynôme annulateur de \(A\).
En déduire que \(A\) est inversible et calculer son inverse.
Pour \(n\geqslant 2\), déterminer le reste de la division euclidienne de \(X^n\) par \(X^2-5X+4\).
En déduire l’expression de \(A^n\) pour tout \(n\in \mathbb{N}\).

Exercice 794 **

30 mars 2021 07:16 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On considère la matrice \(J \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{R})\) remplie de \(1\) : \[J= \begin{pmatrix} 1 & \dots & 1 \\ \vdots & 1 & \vdots \\ 1 & \dots & 1 \end{pmatrix}\]

Calculer \(J^2\) puis pour \(k \in \mathbb N\), \(J^k\).
\(J\) est-elle inversible ?
On considère la matrice \[A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}\] Calculer les puissances successives de \(A\).

Exercice 859 *

30 mars 2021 07:16 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On considère la matrice \[A = \begin{pmatrix} -1 & a & a \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & -1 \end{pmatrix} \in \mathfrak{M}_{3}(\mathbb{\mathbb{R} })\] Calculer pour \(n \in \mathbb N\), \(A^n\).

Exercice 569 *

30 mars 2021 07:16 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On considère la matrice \[A = \begin{pmatrix} a & b \\ b & a \end{pmatrix}\] Calculer ses puissances \(A^n\) pour \(n \in \mathbb N\).

Exercice 882 *

30 mars 2021 07:16 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soient les matrices \(A=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)\), \(B=\left( \begin{array}{ccc} a & b & 0 \\ 0 & a & b \\ b & 0 & a \end{array}\right)\). Calculer les puissances des matrices \(A\) et \(B\).

Exercice 288 *

30 mars 2021 07:17 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit la matrice \(A= \begin{pmatrix} 5&-4 \\ 4&-3 \end{pmatrix}\). Calculer \(A^n\). (on décomposera \(A=I_2+4J\))

Exercice 748 **

30 mars 2021 07:17 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit la matrice \(H=((h_{ij})) \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{R})\) avec \(h_{ij}=1\). Calculer \(H^k\).
En déduire les puissances de la matrice \(A=((a_{ij}))\) où \(a_{ij}=(1-\delta_{ij})\).
Montrer que la matrice \(A\) est inversible en calculant son rang.
Trouver l’inverse de la matrice \(A\) (on le cherchera sous la forme \(aI+bH\)).

Matrices de Jordan **

30 mars 2021 07:17 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit la matrice \(J=\begin{pmatrix} 0 & 0 & \dots & &0 \\ 1 & 0 & & & \vdots \\ 0 & 1 & \ddots & & \\ & \ddots & \ddots & 0 & \vdots \\ 0 & \dots & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K} })\). Calculer les matrices \(J^2\) et \(J^n\) pour tout entier \(n\in \mathbb N\).
Calculer les puissances de la matrice \(A= \begin{pmatrix} a & 0 & \dots & & 0 \\ b & a & & & \vdots\\ 0 & b & \ddots& & \vdots\\ \vdots & \ddots & b & a & 0\\ 0 &\dots & 0 & b & a \end{pmatrix}\in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K} })\). Les matrices de cette forme sont appelées matrices de Jordan.

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