Inversion de matrice

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Inversion de matrice

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Exercice 327 *

29 mars 2021 18:39 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Inverser \[A=\left(\begin{array}{ccc} -3&1&0\\ 2&0&1\\ 1&2&-1 \end{array} \right)\]

en utilisant des opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes.
en utilisant la comatrice.

Exercice 540 *

29 mars 2021 18:39 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Montrer que les matrices suivantes sont inversibles et calculer leur inverse :

\(A=\left(\begin{array}{cc} -1&1\\ 2&1 \end{array} \right)\)
\(B=\left(\begin{array}{cc} 1&i\\ i&1 \end{array} \right)\)
\(C=\left( \begin {array}{ccc} 1&0&1\\-1&0&1 \\0&1&-1\end {array} \right)\)
\(D=\left( \begin {array}{ccc} 0&-2&1\\1&0&1 \\0&-1&2\end {array} \right)\)
\(E=\left( \begin {array}{ccc} 1&1&0\\0&1&2 \\0&0&1\end {array} \right)\)
\(F=\left( \begin {array}{cccc} 0&1&0&0\\0&0&1&0 \\0&0&0&1\\1&0&0&0\end {array} \right)\)

Exercice 317 *

29 mars 2021 18:39 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On considère la matrice \(A\in\mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{C}\right)\) donnée par \(A=\left(\begin{array}{cc} 1&2i \\ -i&1 \end{array}\right)\).

Montrer que \(A^2-2A-I_2=0\). On dit que \(X^2-2X-1\) est un polynôme annulateur de \(A\).
En déduire que \(A\) est inversible et calculer son inverse.
Retrouver ce résultat par un calcul direct.

Exercice 826 *

29 mars 2021 18:39 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(A=\left( \begin {array}{ccc} 1&0&1\\-1&0&2 \\0&1&-1\end {array} \right)\)

Montrer que le polynôme que \(P=X^3-3X+3\) est un polynôme annulateur de \(A\).
En déduire que \(A\) est inversible et calculer son inverse.
Retrouver ce résultat par un calcul direct.

Exercice 385 *

29 mars 2021 18:39 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soient deux matrices carrées \(A,B \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K} })\) vérifiant \(AB=0\). Montrer que si \(A\) est inversible, alors \(B = 0\).

Exercice 84 **

29 mars 2021 18:39 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit une matrice \(A \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R} })\) antisymétrique. On pose \(M=I+A\).

Soit une matrice colonne \(X\in\mathfrak{M}_{n,1}(\mathbb{\mathbb{R} })\). Calculer la matrice \({X}^{\mathrm{T}}AX\)
En déduire que la matrice \(M\) est inversible.

Exercice 607 **

29 mars 2021 18:39 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Déterminer l’inverse de la matrice carrée \(A= \begin{pmatrix} 1 & & &\mathbb{O}\\ a & \ddots & & \\ & \ddots & \ddots & \\ \mathbb{O}& & a &1 \end{pmatrix}\)

Exercice 1032 **

29 mars 2021 18:39 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(A\in\mathfrak{M}_{n}\left(\mathbb{K}\right)\) telle que \(I_n+A\) est inversible. Soit \(B=\left(I_n-A\right)\left(I_n+A\right)^{-1}\).

Montrer que \(B=\left(I_n+A\right)^{-1}\left(I_n-A\right)\).
Montrer que \(I_n+B\) est inversible et exprimer \(A\) en fonction de \(B\).

Exercice 135 **

29 mars 2021 18:39 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(A\) une matrice carrée nilpotente de taille \(n\in\mathbb{N}^*\). Montrer que la matrice \((I_n-A)\) est inversible.

Exercice 605 **

29 mars 2021 18:39 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit une matrice \(U\) triangulaire supérieure telle que tous les éléments de la diagonale soient non-nuls. Montrer que la matrice \(U\) est inversible. (On montrera que \(UX=0\Longrightarrow X=0\) )

Exercice 660 **

29 mars 2021 18:39 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On considère la matrice \(M = ((m_{i,j}))_{1\leqslant i, j \leqslant n} \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R} })\) avec \(m_{ij} = \begin{cases} \dfrac{i}{j} & \textrm{ si } i \neq j \\ 0 & \textrm{ si } i = j \end{cases}\). Calculer \(M^2\) et \(M^{-1}\).

Exercice 187 ***

29 mars 2021 18:39 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Inverser la matrice suivante :

\[A =\begin{pmatrix} 1&6&5&4&3&2\\ 2&1&6&5&4&3\\ 3&2&1&6&5&4\\ 4&3&2&1&6&5\\ 5&4&3&2&1&6\\ 6&5&4&3&2&1 \end{pmatrix}\]

Lemme d’Hadamard ***

29 mars 2021 18:39 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On considère une matrice \(A \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{C} })\), \(A = (a_{i,j})_{1\leqslant i, j \leqslant n}\) à diagonale dominante : \[\forall i \in [\kern-0.127em[ 1, n ]\kern-0.127em]^2,\quad \lvert a_{ii} \rvert > \sum_{j \neq i } \lvert a_{ij} \rvert\] Montrer que la matrice \(A\) est inversible. Cette propriété est connue sous le nom de lemme d’Hadamard.

Exercice 725 ***

29 mars 2021 18:39 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(n\in\mathbb N\), Démontrer qu’il existe un unique polynôme \(U_n(X)\in\mathbb Z[X]\), de degré \(n\), vérifiant \[\forall \vartheta \in \mathbb R,\; \sin \vartheta\,. U_n(\cos \vartheta) = \sin {(n+1)\vartheta}.\] Démontrer que \[U_{n+1}(X) + U_{n-1}(X) = 2XU_n(X)\qquad\qquad(*)\] Démontrer que \[\forall n\geqslant1,\;\forall p\geqslant1,\; U_{n+p} = U_p U_n - U_{p-1} U_{n-1}\qquad\qquad(**).\]
Soit \[B_n(x) = \begin{pmatrix} 2x & 1 & 0 & \ldots & 0 \\ 1 & 2x & 1 & \ddots & \vdots \\ 0 & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\ \vdots & \ddots & 1 & 2x & 1 \\ 0 & \ldots & 0 & 1 & 2x \\ \end{pmatrix}.\] Démontrer que pour \(x\neq \cos\dfrac{k\pi}{n+1}, B_n(x)\) est inversible et son inverse est la matrice symétrique définie par \[b'_{i,j} = (-1)^{i+j} \dfrac{U_{i-1}(x) U_{n-j}(x)}{U_n(x)} \textrm { pour } i\leqslant j\] et \[b'_{i,j} = (-1)^{i+j} \dfrac{U_{j-1}(x) U_{n-i}(x)}{U_n(x)} \textrm { pour } i\geqslant j.\]

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