Rang d'une matrice

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Rang d'une matrice

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Exercice 1040 *

29 mars 2021 18:32 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Déterminer le rang des matrices suivantes :

\(A=\left( \begin{array}{ccc} 1&2&-1\\ 2&1&0\\ -1&1&0 \end{array} \right)\)
\(B= \left( \begin{array}{cccc} 1&-1&0&2\\ 2&-1&1&-1\\ 3&2&0&1\\ 4&3&-1&1 \end{array} \right)\)
\(C= \left( \begin{array}{cccccc} 2&2&1&0&1&1\\ 1&2&1&0&-1&2\\ 2&3&1&-1&0&1\\ -1&0&1&2&3&1 \end{array} \right)\)

Exercice 593 **

29 mars 2021 18:32 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Déterminer suivant la (ou les) valeur(s) du (des) paramètre(s) le rang des matrices :

\(A=\left( \begin{array}{ccc} 1-a&0&0\\ -1&2-a&1\\ 2&0&3-a \end{array} \right)\)
\(B=\left(\begin{array}{ccc} 1&1&1\\ b+c&c+a&a+b\\ bc&ca&ab \end{array}\right)\).
\(C=\left(\begin{array}{ccc} 1&\cos \theta &\cos 2\theta\\ \cos \theta &\cos 2\theta&\cos 3\theta\\ \cos 2\theta&\cos 3\theta&\cos 4\theta \end{array}\right)\).
\(D=\left(\begin{array}{ccc} 1&1&1\\ a&b&c\\ a^2&b^2&c^2 \end{array}\right)\).
\(E=\left(\begin{array}{ccccc} a&b&0&0&0\\ 0&a&b&0&0\\ 0&0&a&b&0\\ 0&0&0&a&b\\ b&0&0&0&a \end{array}\right)\).

Exercice 656 *

29 mars 2021 18:32 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Calculer le rang des familles de vecteurs \(v=\left(v_1,v_2,v_3\right)\) de \(\mathbb{R}^3\) suivantes avec :

\(v_1=\left(1,2,0\right)\), \(v_2=\left(0,1,0\right)\), \(v_3=\left(1,1,1\right)\).
\(v_1=\left(1,1,0\right)\), \(v_2=\left(0,1,1\right)\), \(v_3=\left(1,2,1\right)\).
\(v_1=\left(1,1,1\right)\), \(v_2=\left(1,2,1\right)\), \(v_3=\left(1,-1,1\right)\).

Exercice 1020 *

29 mars 2021 18:32 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Calculer le rang des applications linéaires suivantes :

\(f: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}^3 & \longrightarrow & \mathbb{R}^3 \\ \left(x,y,z\right) & \longmapsto & \left(x+y-z,x,-z\right) \end{array} \right.\).
\(f: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}^2 & \longrightarrow & \mathbb{R}^3 \\ \left(s,t\right) & \longmapsto & \left(s+t,2s-t,t\right) \end{array} \right.\).
\(\theta: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}_{2}\left[X\right] & \longrightarrow & \mathbb{R}_2\left[X\right] \\ P & \longmapsto & P' \end{array} \right.\).
\(\theta: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}_{3}\left[X\right] & \longrightarrow & \mathbb{R}_3\left[X\right] \\ P & \longmapsto & XP'-P \end{array} \right.\).

Exercice 916 **

29 mars 2021 18:32 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(M = \left( \begin{array}{rrr} 8 & 2 &-2 \\ 2 & 5 & 4 \\ -2 & 4 & 5 \end{array}\right)\).

Calculer \(M^2\).
Déterminer le rang de \(M\).
Soit \(A \in {\mathfrak M}_{3,2}(\mathbb C)\) et \(B \in {\mathfrak M}_{2,3}(\mathbb C)\) telles que \(AB = M\). Démontrer que \(BA = 9 I_2\).

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