Soient deux matrices \(A,B \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{R})\). On note \[= \mathop{\mathrm{Tr}}(A{B}^{\mathrm{T}})\]
Calculer \(\) en fonction des coefficients de \(A\) et \(B\).
Vérifier que \(=<B,A>\)
On note \(\left\| A \right\| = \sqrt{ <A,A> }\). Montrer que \(\left\| A \right\| = 0 \Longleftrightarrow A=0\).
Montrer que \(A\mapsto <A,B>\) et \(B\mapsto <A,B>\) sont des formes linéaires sur \(\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{R})\).
Montrer que \(\left| <A,B> \right| \leqslant\left\| A \right\| \left\| B \right\|\).
On a prouvé que \(\) est un produit scalaire sur \(\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{R})\), voir le chapitre [chap_prod_scal]. L’inégalité prouvée dans la dernière question n’est autre que celle de Cauchy-Schwarz. Voir le théorème [Cauchy-Schwarz] page [Cauchy-Schwarz].
Soit \(\mathbb{K}\) un corps de caractéristique nulle et \(M \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}})\) non scalaire telle que \(\mathop{\rm tr}\nolimits M = 0\).
Montrer qu’il existe une matrice colonne \(X_{1}\) telle que \(MX_{1}\) ne soit pas colinéaire à \(X_{1}\).
En déduire que \(M\) est semblable à une matrice \(N = \begin{pmatrix}0&\dots\\\vdots &M_{1}\end{pmatrix}\) où \(M_{1} \in \mathcal M _{n-1}(\mathbb{K})\) et \(\mathop{\rm tr}\nolimits M_{1} = 0\).
Montrer que \(M\) est semblable à une matrice à diagonale nulle.
En utilisant l’exercice [commdiag], montrer qu’il existe \(A,B \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}})\) telles que \(M = AB-BA\).
