Endomorphismes opérant sur les polynômes

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Endomorphismes opérant sur les polynômes

Les exercices

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Exercice 785 **

15 février 2021 14:55 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit l’application \[\varphi: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}\left[X\right] & \longrightarrow & \mathbb{R}\left[X\right] \\ P & \longmapsto & P-XP' \end{array} \right.\] Montrer que \(\varphi\) est un endomorphisme. Déterminer son noyau et son image.

Exercice 257 **

15 février 2021 14:55 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(A=X^3+X^2+X+1\) et \(E=\mathbb{R}_n\left[X\right]\). Considérons l’application \[r: \left\{ \begin{array}{ccl} E & \longrightarrow & E \\ P & \longmapsto & r\left(P\right) \end{array} \right.\] où \(r\left(P\right)\) désigne le reste de la division euclidienne de \(P\) par \(A\).

Montrer que \(r\) est bien définie et que \(r\in\mathfrak{L}\left(E\right)\)..
Prouver que \(r^2=r\). Qu’en déduisez vous?
Déterminer l’image et le noyau de \(r\).

Exercice 450 ***

15 février 2021 14:55 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soient \(n\in\mathbb{N}^*\) et \[\Delta: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{C}_{n+1}\left[X\right] & \longrightarrow & \mathbb{C}_n\left[X\right] \\ P & \longmapsto & P\left(X+1\right)-P\left(X\right) \end{array} \right.\]
1. Montrer que \(\Delta\) est bien définie puis que c’est une application linéaire.
2. Déterminer le noyau de \(\Delta\).
3. En déduire que \(\Delta\) est surjective.
On considère maintenant \(E=\mathbb{C}\left[X\right]\) et \[\Delta: \left\{ \begin{array}{ccl} E & \longrightarrow & E \\ P & \longmapsto & P\left(X+1\right)-P\left(X\right) \end{array} \right.\]
1. Montrer que \(\Delta\) est un endomorphisme de \(E\).
2. Déterminer \(\mathop{\rm Im}\Delta\).
3. Soient \(P\in \mathbb{C}\left[X\right]\) et \(n\in\mathbb{N}\). Montrer que : \[\Delta^n\left(P\right)=\left(-1\right)^n \sum_{k=0}^n \left(-1\right)^k \binom{n}{k} P\left(X+k\right)\]
4. En déduire que si \(\deg P <n\) alors on a : \(\sum_{k=0}^n \left(-1\right)^k \binom{n}{k} P\left(k\right)=0\).

Exercice 346 ***

15 février 2021 14:55 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Déterminer dans \(\mathbb{R}[X]\) les polynômes \(P\) satisfaisant à \(n(n-1)P - (X^{2}-1)P" = 0. \quad (n\geqslant 2)\).

Montrer que \(P\) est nécessairement nul ou de degré \(n\).
Démontrer que l’ensemble des solutions est un espace vectoriel de dimension \(1\).
Démontrer que \(P\) est un polynôme de même parité que \(n\). En déduire la nullité de certains coefficients de \(P\).
Établir une relation de récurrence entre les coefficients de \(P\), déterminer \(P\) et montrer que : \[1 + \displaystyle\sum_{2\leqslant 2q\leqslant n} (-1)^q \dfrac{\binom{n}{2q}\binom{n-1}{q}}{\binom{2n-2}{2q}} = 0.\]

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