Formes linéaires en dimension finie

Dans le dossier «Formes linéaires en dimension finie»

Formes linéaires en dimension finie

Les exercices

$\bullet$Dual d’un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel *
$\bullet$Exercice 722 **
$\bullet$Exercice 9 **
$\bullet$Exercice 433 **
$\bullet$Exercice 117 ***

Exercices dans ce dossier

Dual d’un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel *

15 février 2021 14:46 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soient \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension finie \(n\in\mathbb{N}^*\) et \(E^*\) le \(K\)-espace vectoriel des formes linéaires sur \(E\), appelée dual de \(E\). Montrer que \(E\) et \(E'\) sont des \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel s isomorphes.

Exercice 722 **

15 février 2021 14:46 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soient \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension \(n\in\mathbb{N}^*\) et \(\varphi\) une forme linéaire non nulle sur \(E\). Montrer que pour tout \(x\in E \setminus \operatorname{Ker}\varphi\), \(\operatorname{Ker}\varphi\) et \(Vect{\left(x\right)}\) sont supplémentaires dans \(E\).

Exercice 9 **

15 février 2021 14:46 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soient \(f\) et \(g\) des formes linéaires sur un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\) de dimension finie telles que \(\operatorname{Ker}f = \operatorname{Ker}g\). Montrer qu’il existe \(\alpha\in\mathbb{K}\) tel que \(f=\alpha \cdot g\).

Exercice 433 **

15 février 2021 14:46 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension \(n\) et \(u\in L(E)\) un endomorphisme. On suppose que \(\forall \varphi\in E^{\star}\), \(\varphi\circ u = 0_{E^{\star}}\). Montrer que \(u=0_{L(E)}\).

Exercice 117 ***

15 février 2021 14:46 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soient \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension finie \(n\) et soient \(f_1,\dots,f_n\in\mathfrak{L}\left(E,\mathbb{K}\right)\) \(n\) formes linéaires sur \(E\). Montrer que la famille \(f=\left(f_1,\dots,f_n\right)\) est une base de \(\mathfrak{L}\left(E,\mathbb{K}\right)\) si et seulement si l’application \(\theta: \left\{ \begin{array}{ccl} E & \longrightarrow & \mathbb{K}^n \\ x & \longmapsto & \left(f_1\left(x\right),\dots,f_n\left(x\right)\right) \end{array} \right.\) est un isomorphisme.

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