Applications linéaires en dimension finie

Dans le dossier «Applications linéaires en dimension finie»

Applications linéaires en dimension finie

Les exercices

$\bullet$Exercice 572 *
$\bullet$Exercice 665 *
$\bullet$Exercice 740 *
$\bullet$Exercice 365 **
$\bullet$Exercice 688 **
$\bullet$Exercice 1017 **
$\bullet$Exercice 101 **
$\bullet$Exercice 82 **
$\bullet$Exercice 856 **
$\bullet$Exercice 1000 **
$\bullet$Exercice 948 **
$\bullet$Exercice 928 **
$\bullet$Endomorphisme commutant avec tous les autres ***
$\bullet$Un grand classique ***
$\bullet$Exercice 404 ***
$\bullet$Exercice 807 ***
$\bullet$Exercice 469 ***
$\bullet$Exercice 389 ***
$\bullet$Exercice 582 ***
$\bullet$Exercice 170 ***
$\bullet$Exercice 197 **
$\bullet$Exercice 624 ***
$\bullet$Image d’une somme, d’une intersection **
$\bullet$Effet sur les familles libres et génératrices **
$\bullet$Endomorphisme tel que tout vecteur non nul est propre **
$\bullet$Applications \(\mathbb{R}\)-linéaires sur \(\mathbb{C}\) **
$\bullet$\(\mathcal L (E\times F)\) **
$\bullet$Permutation de coordonnées dans \(\mathbb{K}^n\) **
$\bullet$Somme directe d’endomorphismes **

Exercices dans ce dossier

Exercice 572 *

15 février 2021 14:39 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On considère \(u: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}^{4} & \longrightarrow & \mathbb{R}^{2} \\ (x,y,z,t) & \longmapsto & (2x+y, t-x) \end{array} \right.\)

Montrer que \(u\) est une application linéaire et déterminer \(\operatorname{Ker}u\) et \(\mathop{\mathrm{Im}}u\).
La famille \(\left( (u(1,0,0,0), u(1,1,1,1)\right)\) est-elle libre dans \(\mathbb{R}^{2}\)?

Exercice 665 *

15 février 2021 14:39 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(\theta: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}_3\left[X\right] & \longrightarrow & \mathbb{R}_3\left[X\right] \\ P & \longmapsto & XP'-2P \end{array} \right.\).

Montrer que \(\theta\) est un endomorphisme de \(\mathbb{R}_3\left[X\right]\).
Déterminer \(\mathop{\rm Im}\theta\) et en déduire le rang de \(\theta\).
Donner la dimension de \(\operatorname{Ker}\theta\) et déterminer \(\operatorname{Ker}\theta\).

Exercice 740 *

15 février 2021 14:39 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soient \(a\in\mathbb{R}\) et \(F=\left\{P\in\mathbb{R}_n\left[X\right]~|~ P\left(a\right)=0\right\}\).

Prouver que \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}_n\left[X\right]\). Déterminer sa dimension.
Déterminer un supplémentaire de \(F\) dans \(\mathbb{R}_n\left[X\right]\).

Exercice 365 **

15 février 2021 14:39 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On considère l’application linéaire \[\varphi: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}_{ }[X] & \longrightarrow & \mathbb{R}_{ }[X] \newline P & \longmapsto & P+P'+P'' \end{array} \right.\]

Montrer que l’endomorphisme \(\varphi\) est injectif.
Montrer que l’endomorphisme \(\varphi\) est surjectif.

Pour montrer la surjectivité, étudier la restriction de \(\varphi\) à \(\mathbb{R}_{n}[X]\) qui est un espace de dimension finie.

Exercice 688 **

15 février 2021 14:39 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On définit l’application \[\varphi:\left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{\mathbb{R} }_{3}[X] & \longrightarrow & \mathbb{R}^{4} \\ P & \longmapsto & (P(0),P'(1),P''(1),P''(2)) \end{array} \right.\]

Montrer que \(\varphi\) est un isomorphisme.
En déduire qu’il existe un et un seul polynôme \(P\in \mathbb{\mathbb{R} }_{3}[X]\) vérifiant \(P(0)=1, P'(1)=2, P''(1)=-1\) et \(P''(2)=1\).

Exercice 1017 **

15 février 2021 14:40 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On considère un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\) et un endomorphisme \(u \in L(E)\). Soit un sous-espace vectoriel \(F\) de \(E\). On suppose que \(F \subset u(F)\).

On suppose que \(E\) est de dimension finie. Montrer que \(u(F) = F\).
Trouver un contre-exemple lorsque \(E\) est de dimension infinie.

Pour la deuxième question, on pourra étudier \(u: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}[X] & \longrightarrow & \mathbb{R}[X] \\ P & \longmapsto & P' \end{array} \right.\) avec \(F = \{XP~;~ P \in E\}\).

Exercice 101 **

15 février 2021 14:40 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(f\in \mathfrak{L}\left(E,F\right)\) avec \(E\) et \(F\) deux \(\mathbb{K}\)-espaces vectoriels tels que \(\dim E=n\) et \(\dim F=p\). Dire, pour chacune des phrases suivantes, si elle caractérise l’injectivité, la surjectivité ou la bijectivité de \(f\) :

L’image de toute famille libre de \(E\) par \(f\) est libre
\(\mathop{\mathrm{Im}}f =F\)
L’image d’une base de \(E\) par \(f\) est génératrice de \(F\).
\(\mathop{\mathrm{rg}}f=n\).
L’image d’une base de \(E\) par \(f\) est libre.
\(\mathop{\mathrm{rg}}f=p\).
L’image d’une base de \(E\) par \(f\) est une base de \(F\).
L’image de toute famille génératrice de \(E\) par \(f\) est génératrice de \(F\).
\(\exists g\in\mathfrak{L}\left(F,E\right),\quad g\circ f = \mathop{\mathrm{id}}\nolimits_E\)
\(\exists g\in\mathfrak{L}\left(F,E\right),\quad f\circ g = \mathop{\mathrm{id}}\nolimits_F\)

Exercice 82 **

15 février 2021 14:40 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\) de dimension finie \(n\), un vecteur \(x_0\) de \(E\) et un endomorphisme \(f\in L(E)\) tel que \((f(x_0), f^2(x_0),\dots , f^n(x_0))\) soit libre.

Montrer que la famille \((x_0,f(x_0), \dots, f^{n-1}(x_0) )\) est une base de \(E\).
Montrer que \(f\) est inversible.

Exercice 856 **

15 février 2021 14:40 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\) de dimension finie \(n\) et deux endomorphismes \((u,v)\in L(E)\). Montrer que \[\mathop{\mathrm{rg}}u + \mathop{\mathrm{rg}}v \leqslant\mathop{\mathrm{rg}}(u\circ v) +n\]

On pourra étudier la restriction \(\widetilde{u}\) de \(u\) à \(\mathop{\mathrm{Im}}v\) et montrer que \(\mathop{\mathrm{Im}}\widetilde{u}= \mathop{\mathrm{Im}}(u\circ v)\) et \(\operatorname{Ker}\widetilde{u}=\operatorname{Ker}u \cap \mathop{\mathrm{Im}}v\), puis appliquer le théorème du rang à \(\widetilde{u}\).

Exercice 1000 **

15 février 2021 14:40 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\) et deux sous-espace vectoriel \(E_1, E_2\) de \(E\). Montrer que : \[\left(\exists u \in L(E)~\mid \operatorname{Ker}u=E_1 \textrm{ et } \mathop{\mathrm{Im}} u=E_2 \right) \Longleftrightarrow (\dim E= \dim E_1 + \dim E_2)\]

Pour la réciproque,construire une base de \(E\) en complétant une base de \(E_1\). Définir alors \(u\) en se donnant l’image de cette base.

Exercice 948 **

15 février 2021 14:40 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit un K-espace vectoriel \(E\) de dimension finie \(n\) et deux endomorphismes \(f,g\) de \(E\) vérifiant \(f\circ g=0\) et \(f+g \in GL(E)\). Montrer que \(\mathop{\mathrm{rg}}(f) + \mathop{\mathrm{rg}}(g)=n\).

Exercice 928 **

15 février 2021 14:40 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\) de dimension finie \(n\). On considère l’ensemble \(A= \{ (u,v) \in L(E)^2 \mid u\circ v=0 \}\). Déterminer \(\sup \{ \mathop{\mathrm{rg}}u + \mathop{\mathrm{rg}}v \mid (u,v)\in A \}\).

Endomorphisme commutant avec tous les autres ***

15 février 2021 14:40 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soient \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension finie \(n\geqslant 2\).

Démontrer que les homothéties sont les seuls endomorphismes \(f\) de \(E\) tels que : \[\forall x\in E,\quad \left(x,f\left(x\right)\right) \textrm{ est une famille liée}.\]
En déduire que les homothéties sont les seuls endomorphismes de \(E\) qui commutent avec tout autre endomorphisme.

Pour tout \(x\in E\), on pourra considérer une projection sur \(Vect\left(x\right)\)).

Un grand classique ***

15 février 2021 14:40 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(f\) un endomorphisme d’un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\) de dimension \(n\). Pour tout \(p\in \mathbb{N}\), on note : \[K_p=\operatorname{Ker}f^p \quad \textrm{ et} \quad I_p=\mathop{\mathrm{Im}}f^p.\]

Montrer que : \[\forall p\in\mathbb{N},\quad K_p\subset K_{p+1} \quad \textrm{ et} \quad I_{p+1}\subset I_p.\]
Prouver qu’il existe un plus petit entier naturel \(r\leqslant n\) tel que : \(\forall i\geqslant r,\quad K_i=K_{i+1}\).
Montrer de même que :\[\forall i\geqslant r,\quad I_i=I_{i+1}.\]
Montrer que : \(E=K_r \oplus I_r\).

Exercice 404 ***

15 février 2021 14:40 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit un espace vectoriel \(E\) de dimension 3 et un endomorphisme \(u\) de E tel que \(u^2\)=0. Montrer que \[\exists a\in E: \quad\exists f\in E^{\star}: \quad \forall x \in E, \quad u(x)=f(x)\,\cdot\,a\]

Traduire en terme d’image et de noyau la relation \(u^2 = 0\). Introduire ensuite une base de \(\operatorname{Ker}u\) et la compléter. Définir \(f\) à l’aide de cette base.

Exercice 807 ***

15 février 2021 14:40 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension finie et soit \(f\in L(E)\) un endomorphisme de rang 1.

Montrer qu’il existe un scalaire \(\lambda \in K\) tel que \(f^2= \lambda f\).
A quelle condition sur le scalaire \(\lambda\), \((\mathop{\mathrm{id}}\nolimits-f)\) est-il inversible ? Calculer alors \((\mathop{\mathrm{id}}\nolimits-f)^{-1}\).

Exercice 469 ***

15 février 2021 14:40 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\) de dimension finie \(n\) et deux endomorphismes \((f,g)\) de \(E\) vérifiant : \[f\circ g\circ f=f \textrm{ et } g\circ f\circ g=g\]

Montrer que \(E= \operatorname{Ker}f \oplus \mathop{\mathrm{Im}}g\).
Montrer que \(\mathop{\mathrm{rg}}(f)=\mathop{\mathrm{rg}}(g)=\mathop{\mathrm{rg}}(g\circ f)=\mathop{\mathrm{rg}}(f\circ g)\).

Exercice 389 ***

15 février 2021 14:40 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension finie \(n\) et \(u, v \in L(E)\). On suppose que \(E=\mathop{\mathrm{Im}}u+ \mathop{\mathrm{Im}}v=\operatorname{Ker}u + \operatorname{Ker}v\). Montrer que ces deux sommes sont directes.

Exercice 582 ***

15 février 2021 14:40 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On considère un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension finie et un endomorphisme \(u \in L(E)\). Montrer qu’il existe un automorphisme \(v \in \mathrm{GL}_{ }(E)\) et un projecteur \(p \in L(E)\) tels que \(u = v \circ p\).

Exercice 170 ***

15 février 2021 14:40 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit un K-espace vectoriel \(E\) de dimension finie \(n\) et un endomorphisme \(f\in L(E)\). Montrer l’équivalence entre les propriétés suivantes :

\(E=\mathop{\mathrm{Im}}f + \operatorname{Ker}f\)
\(E= \mathop{\mathrm{Im}}f \oplus \operatorname{Ker}f\)
\(\mathop{\mathrm{Im}}f \cap \operatorname{Ker}f = \left\{ 0\right\}\)
\(\mathop{\mathrm{Im}}f = \mathop{\mathrm{Im}}f^2\)
\(\operatorname{Ker}f = \operatorname{Ker}f^2\).

Exercice 197 **

15 février 2021 14:40 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On note \(E\) l’espace vectoriel \(\mathbb{\mathbb{R} }_{n}[X]\) des fonctions polynomiales de degré inférieur ou égal à \(n\). On définit l’application \[f : \left\{ \begin{array}{ccl} E & \longrightarrow & E \\ P & \longmapsto & Q \end{array} \right.\] où \(Q\) est définie par : \[\forall x \in \mathbb{R} , \quad Q(x) = \int_0^1 (x+t)^n P(t)\mathrm{ \;d}t\] Montrez que \(f\) est un automorphisme de \(E\).

Exercice 624 ***

15 février 2021 14:40 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Suite de l’exercice p. .

Soit un anneau \((A, +, \times)\). On dit qu’il est régulier lorsque \[\forall u \in A,~ \exists x \in A ~: u = uxu.\] Montrer que si \(E\) est un \(\mathbb{K}\)-ev de dimension finie, l’anneau \(L(E)\) est régulier.

Image d’une somme, d’une intersection **

12 mars 2024 13:20 — Par Michel Quercia

Soit \(f:E\to F\) une application linéaire et \(E_1\), \(E_2\) deux sous-espaces vectoriels de \(E\), \(F_1\), \(F_2\) deux sous-espaces vectoriels de \(F\). Que pouvez-vous-dire de \(f(E_1+E_2)\), \(f(E_1\cap E_2)\), \(f^{-1}(F_1+F_2)\), \(f^{-1}(F_1\cap F_2)\) ?

Effet sur les familles libres et génératrices **

12 mars 2024 13:20 — Par Michel Quercia

Soient \(E,F\) deux espaces vectoriels et \(f:E\to F\) linéaire.

Montrer que \(f\) est injective si et seulement si \(f\) transforme toute famille libre de \(E\) en une famille libre de \(F\).
Montrer que \(f\) est surjective si et seulement s’il existe une famille génératrice de \(E\) transformée par \(f\) en une famille génératrice de \(F\).

Endomorphisme tel que tout vecteur non nul est propre **

12 mars 2024 13:20 — Par Michel Quercia

Soit \(E\) un espace vectoriel et \(f\in \mathcal L (E)\) tel que pour tout \(x\in E\), la famille \((x,f(x))\) est liée.

Montrer que si \(x\neq 0\), il existe un unique scalaire \(\lambda _x\) tel que \(f(x) = \lambda _xx\).
Comparer \(\lambda _x\) et \(\lambda _y\) lorsque \((x, y)\) est libre.
Montrer que \(f\) est une homothétie.

Applications \(\mathbb{R}\)-linéaires sur \(\mathbb{C}\) **

12 mars 2024 13:20 — Par Michel Quercia

On considère que \(\mathbb{C}\) est un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel.

Donner une base de \(\mathbb{C}\).
Montrer que tout endomorphisme de \(\mathbb{C}\) peut se mettre sous la forme : \(f(z) = az + b\overline{z}\), avec \(a,b\in \mathbb{C}\).
CNS sur \(a\) et \(b\) pour que \(f\) soit bijectif ?

\(\mathcal L (E\times F)\) **

12 mars 2024 13:20 — Par Michel Quercia

Est-il vrai que \(\mathcal L (E\times F)\) et \(\mathcal L (E)\times \mathcal L (F)\) sont isomorphes ? (\(E\) et \(F\) espaces vectoriels de dimensions finies).

Permutation de coordonnées dans \(\mathbb{K}^n\) **

12 mars 2024 13:20 — Par Michel Quercia

Soit \(\sigma \in \mathcal S _n\) (groupe symétrique) et \(f_\sigma : \mathbb{K}^n \rightarrow \mathbb{K}^n , (x_{1},\dots x_n) \mapsto (x_{\sigma (1)},\dots,x_{\sigma (n)})\)

On munit \(\mathbb{K}^n\) de la structure d’algèbre pour les opérations composante par composante.

Montrer que \(f_\sigma\) est un automorphisme d’algèbre.
Soit \(\varphi\) un automorphisme d’algèbre de \(\mathbb{K}^n\).
1. Montrer que la base canonique de \(\mathbb{K}^n\) est invariante par \(\varphi\) (étudier \(\varphi (e_i^2 )\) et \(\varphi (e_i\times e_j)\)).
2. En déduire qu’il existe \(\sigma \in \mathcal S _n\) tel que \(\varphi = f_\sigma\).
Montrer que \(\{ 0\}\), \(D=\mathbb{K}(1,\dots,1)\), \(H=\{ (x_1,\dots,x_n) \text{ tq }x_1 + \dots+ x_n = 0 \}\) et \(\mathbb{K}^n\) sont les seuls sev stables par tous les endomorphismes \(f_\sigma\).

Somme directe d’endomorphismes **

12 mars 2024 13:21 — Par Michel Quercia

Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-ev, \(E_{1},\dots,E_n\) des sev tels que \(E_{1} \oplus \dots\oplus E_n = E\). Soient \(u_{1} \in \mathcal L (E_{1}),\dots, u_n \in \mathcal L (E_n)\).

Montrer qu’il existe un unique endomorphisme \(u\in \mathcal L (E)\) tel que pour tout \(i\) : \(u_{|E_i} = u_i\).
Montrer que \(\mathop{\rm Ker}\nolimits(u) = \mathop{\rm Ker}\nolimits(u_{1}) \oplus \dots\oplus \mathop{\rm Ker}\nolimits(u_n)\) et \(\mathop{\rm Im}\nolimits(u) = \mathop{\rm Im}\nolimits(u_{1}) \oplus \dots\oplus \mathop{\rm Im}\nolimits(u_n)\).

;

Success message!