Transformations du plan complexe

Dans le dossier «Transformations du plan complexe»

Transformations du plan complexe

Les exercices

$\bullet$Homographies, Centrale MP 2012 ** Centrales MP

Exercices dans ce dossier

Exercice 228 *

4 janvier 2021 22:43 — Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur

Identifier les transformations complexes suivantes :

\(f_1 : z\mapsto z+1+i\).
\(f_2 : z\mapsto e^{i\pi/6}z\).
\(f_3 : z\mapsto e^{i\pi/3}z+1\).
\(f_4 : z\mapsto 2z+1-i\).
\(f_5 : z\mapsto -z+2-i\).
\(f_6 : z\mapsto \bar z\).
\(f_7 : z\mapsto \left(1+i\right)z+{i}\).
\(f_8 : z\mapsto \left(1+i\sqrt 3\right)z+{1}\).

Exercice 230 *

4 janvier 2021 22:43 — Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur

Donner les applications qui représentent dans le plan complexe les transformations suivantes :

La translation de vecteur d’affixe \(-2+i\).
La symétrie de centre \(i\).
La rotation d’angle \(\pi/6\) et de centre \(1\).
L’homothétie de rapport \(3\) et de centre \(1+2i\).
La similitude de rapport \(2\), d’angle \(\pi/3\) et de centre \(1+i\).

Exercice 232 *

4 janvier 2021 22:43 — Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur

On considère :

le point \(\Omega\) du plan complexe d’affixe \(1+2i\)
l’homothétie \(h\) de centre \(\Omega\) et de rapport \(2\).
la rotation \(r\) de centre \(\Omega\) et d’angle \(\pi/4\).
la transformation du plan complexe \(s=r\circ h\).

Donner l’écriture complexe de \(s\).

Exercice 234 *

4 janvier 2021 22:43 — Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur

Étudier la similitude \(s\) qui envoie le point \(A\) d’affixe \(i\) sur le point \(A'\) d’affixe \(1+\sqrt 3/2 + i/2\) et le point \(B\) d’affixe \(1+i\) sur le point \(B'\) d’affixe \(1+3\sqrt 3 + 2i\).

Exercice 236 **

4 janvier 2021 22:43 — Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur

Démontrer que :

la composée de deux symétries centrales est une translation.
la composée d’une rotation et d’une translation est une rotation.
la composée de deux rotations est une rotation ou une translation.

Homographies, Centrale MP 2012 ** Centrales MP

11 mars 2024 23:10 — Par Michel Quercia

On note \(\overline{\mathbb{C}} = \mathbb{C}\cup \{ \infty \}\). Pour \((a,b,c,d)\in \mathbb{C}^4\) tel que \(c\neq 0\) on pose \(f(z)=\dfrac{az-b}{cz-d}\) pour tout \(z\in \mathbb{C}\setminus \{ d/c\}\), \(f(d/c)=\infty\) et \(f(\infty )=a/c\).

Donner une condition nécessaire et suffisante pour que \(f\) soit bijective.
Montrer qu’il existe \(z_{0} ,z_{1},z_{2}\) tels que \(f(z)=z_{1}+\dfrac{z_{2}}{z-z_{0} }\), \(f(\infty )=z_{1}\) et \(f(z_{0} )=\infty\).
On pose \(D=\{ z\in \mathbb{C}\text{ tq }|z|<1\}\), \(P=\{ z\in \mathbb{C}\text{ tq }\mathop{\mathrm{Im}}(z)>0\}\) et \(f(z)=\dfrac{z-i}{z+i}.\) Montrer que \(f(P)=D\).
\(f(z)=\dfrac{az-b}{cz-d}\).

Déterminer toutes les fonctions de ce type telles que \(f(\mathbb U)=\mathbb{R}\cup \{ \infty \}\) avec \(\mathbb U=\{ z\in \mathbb{C}\text{ tq }|z|=1\}\).

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