Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel  de dimension finie. On considère \(F\) et \(G\) deux sous-espaces vectoriels de \(E\) de même dimension. Le but de cet exercice est de montrer que \(F\) et \(G\) admettent un supplémentaire commun.

  1. Montrer que \(F\cap G\) admet un supplémentaire \(F'\) (resp. \(G'\)) dans \(F\) (resp. dans \(G\)).

  2. Montrer que \(F'\) et \(G'\) sont de même dimension.

  3. Montrer \(F'\) et \(G'\) sont en somme directe.

  4. En considérant une base de \(F'\) et une base de \(G'\), construire un supplémentaire commun à \(F\) et \(G\) dans \(F+ G\).

  5. Répondre alors au problème initial.


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[ID: 1416] [Date de publication: 15 février 2021 14:04] [Catégorie(s): Sous-espaces supplémentaires ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Existence d’un supplémentaire commun
Par emmanuel le 15 février 2021 14:04
  1. \(F\cap G\) est un sous-espace vectoriel de \(F\) qui est de dimension finie car c’est le cas de \(E\). Donc \(F\cap G\) admet un supplémentaire \(F'\) dans \(F\). On fait de même pour \(G'\).

  2. Comme \(F=F\cap G \oplus F'\), il vient que \(\dim F'= \dim F-\dim F\cap G\). De même, \(\dim G'= \dim G-\dim F\cap G\). Le résultat s’ensuit alors du fait que \(F\) et \(G\) ont même dimension. On notera \(p=\dim F' =\dim G'\).

  3. Soit \(x\in F'\cap G'\). Comme \(F'\subset F\) et que \(G'\subset G\), on a \(x\in F\cap G\). Mais \(F'\) et \(F\cap G\) sont supplémentaires donc \(x=0\).

  4. Comme \(F'\) et \(G'\) sont de même dimension \(p\), ces deux sous-espaces admettent des bases \(f=\left(f_1,\dots,f_p\right)\) pour \(F'\) et \(\left(g_1,\dots,g_p\right)\) pour \(G'\). Considérons la famille \(h=\left(h_1,\dots,h_p\right)\) où pour tout \(i\in\llbracket 1,p\rrbracket\), \(h_i=f_i+g_i\). Aucun des vecteurs de cette famille n’est dans \(F\cup G\). En effet, s’il existe \(i\in\llbracket 1,p\rrbracket\) tel que \(h_i\in F\cup G\) alors \(h_i\in F\) ou \(h_i\in G\). Si \(h_i=f_i+g_i\in F\) alors \(g_i=f_i-h_i\in F\). Donc \(g_i\in F\cap G\). Mais \(g_i\in G'\) et les deux sous-espaces \(G'\) et \(G\cap F\) sont en somme directe, donc \(g_i=0\), ce qui n’est pas possible car la famille \(g\) ne serait pas libre. On fait de même si \(h_i\in G\). Montrons maintenant que la famille \(h\) est libre. Soient \(\alpha_1,\dots,\alpha_n\in \mathbb{K}\) tels que \(\alpha_1 h_1+\dots+\alpha_p h_p=0\). Alors le vecteur \(v=\alpha_1 f_1+\dots+\alpha_p f_p=-\left(\alpha_1 g_1+\dots+\alpha_p g_p\right)\) est élément de \(F'\cap G'\). D’après la question précédente, \(v=0\) et \(\alpha_1 f_1+\dots+\alpha_p f_p=\alpha_1 g_1+\dots+\alpha_p g_p=0\). Les familles \(f\) et \(g\) étant libres, on en déduit que \(\alpha_1=\dots=\alpha_p=0\) et donc que \(h\) est libre. Posons \(H=Vect\left(h_1,\dots,h_p\right)\). Il est clair que \(\dim H=p\). Montrons que \(F\cap H=\left\{0\right\}\). Soit \(x\in F\cap H\). Alors il existe \(\alpha_1,\dots,\alpha_p\in \mathbb{K}\) tels que \(x=\sum_{i=1}^p \alpha_i h_i\). Mais \(\sum_{i=1}^p \alpha_i g_i=x-\sum_{i=1}^p \alpha_i f_i\) et donc le vecteur \(\sum_{i=1}^p \alpha_i g_i\in F\cap G\) ce qui prouve que \(\sum_{i=1}^p \alpha_i g_i=0\) car ce vecteur est aussi élément de \(G'\). Comme la famille \(g\) est libre, il vient que \(\alpha_1=\dots=\alpha_p=0\) et donc \(x=0\). \(F\) et \(H\) sont bien en somme directe. Enfin, puisque \(F'\) est supplémentaire de \(F\) dans \(F+G\), donc \(\dim (F+G) = \dim F + \dim F' = \dim F + p = \dim F + \dim H\). Donc \(H\) est un supplémentaire de \(F\) dans \(F+G\). De même \(H\) est un supplémentaire de \(G\) dans \(F+G\).

  5. On considère un supplémentaire \(\widetilde H\) à \(F+G\) dans \(E\). Il existe car \(E\) est de dimension finie. Montrons que \(H\oplus\widetilde H\) (vérifier que cette somme est bien directe) est un supplémentaire commun à \(F\) et \(G\) dans \(E\). Soit \(x\in F\cap (H\oplus\widetilde H)\). Alors \(x\in F\) et \(x=a+\widetilde a\) ou \(a\in H\) et \(\widetilde a\in \widetilde H\). Mais \(\widetilde a=x-a\in F+H=F+G\) donc \(\widetilde a\in (F+G)\cap \widetilde H\) ce qui amène \(\widetilde a=0\) et \(x=a\). Mais comme \(F\cap H=\left\{0\right\}\), il s’ensuit que \(x=0\) et donc \(F\) et \(H\oplus\widetilde H\) sont en somme directe. De plus \(\dim \left(H\oplus\widetilde H \right) = \dim \left(F+G\right)-\dim F + \dim E-\dim \left(F+G\right)=\dim E-\dim F\). Donc \(F+\left(H\oplus\widetilde H\right)=E\) et \(E=F\oplus\left(H\oplus\widetilde H\right)\). On montre de même que \(E=G\oplus\left(H\oplus\widetilde H\right)\)


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