Soit \(E\) un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel de dimension finie \(n\) et \(F\) un sous-espace vectoriel de \(E\) différent de \(\left\{ 0\right\}\) et différent de l’espace \(E\). Montrer que \(F\) admet une infinité de supplémentaires dans \(E\).
( ).
Faire un dessin dans \(\mathbb{R}^{2}\) lorsque \(F\) est une droite vectorielle.

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[ID: 1414] [Date de publication: 15 février 2021 14:04] [Catégorie(s): Sous-espaces supplémentaires ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Infinité des supplémentaires
Par emmanuel le 15 février 2021 14:04

Considérons une base de \(F\), \((e_1,\ldots ,e_p)\) (où \(p=\dim F\)) et complétons là en une base de \(E\) par des vecteurs \(e_{p+1},\ldots e_n\in E\). Pour tout \(t\in\mathbb{R}\), posons \(G_t=Vect(te_1+e_{p+1},e_{p+2},\ldots ,e_n)\). Soit \(t\in\mathbb{R}\), montrons que \(G_t\) est un supplémentaire de \(F\) dans \(E\). Il suffit pour ce faire de montrer que \(\left(e_1,\dots,e_p, te_1+e_{p+1},e_{p+2},\ldots ,e_n\right)\) est une base de \(E\). Soient \(\alpha_1,\dots,\alpha_n\in\mathbb{R}\) tels que \(\alpha_1 e_1+\dots+\alpha_p e_p+\alpha_{p+1}\left(te_1+e_{p+1}\right)+\alpha_{p+2}e_{p+2}++\dots\alpha_n e_n=0\) alors \(\left(\alpha_1+t\alpha_{p+1}\right) e_1+\dots+\alpha_p e_p+\alpha_{p+1}e_{p+1}+\alpha_{p+2}e_{p+2}+\dots+\alpha_n e_n=0\) et comme \(\left(e_1,\dots,e_n\right)\) est libre, il vient que \(\alpha_1+t\alpha_{p+1}=\alpha_2=\dots=\alpha_p=\alpha_{p+1}=\alpha_{p+2} =\dots=\alpha_n=0\) et donc que \(\alpha_1=\dots=\alpha_n=0\). La famille \(\left(e_1,\dots,e_p, te_1+e_{p+1},e_{p+2},\ldots ,e_n\right)\) est donc bien libre et comme son cardinal est égal à la dimension de \(E\), il s’agit bien d’une base de \(E\). En conclusion, \(E=F\oplus G_t\).

Si \(t\neq t'\) sont deux réels, alors \(G_t\neq G_{t'}\). En effet le vecteur \(e_p+te_1\) n’est pas élément de \(G_{t'}\). Si c’était le cas, alors il existerait \(\alpha_{p+1},\dots,\alpha_n\in\mathbb{R}\) tels que \(e_{p+1}+t e_1 = \alpha_{p+1}\left(e_{p+1}+t' e_1\right)+\alpha_{p+2} e_{p+2}+\dots+\alpha_n e_n\). Alors \(\left(\alpha_{p+1}t'-t \right)e_1+ \left(\alpha_{p+1}-1\right)e_{p+1}+\alpha_{p+2} e_{p+2}+\dots+\alpha_n e_n=0\). La famille \(\left(e_1,e_{p+1},\dots,e_n\right)\) est libre comme sous-famille d’une famille libre donc en particulier \(\alpha_{p+1}t'-t =\alpha_{p+1}-1=0\) et \(t=t'\), ce qui est contraire à notre hypothèse de départ.


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