Soit un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\) de dimension finie \(n\). Soient \(F\) et \(G\) deux sous-espaces vectoriels de \(E\) vérifiant \(\dim F + \dim G > n\). Montrer que \(F\cap G\neq \left\{ 0_E\right\}\).


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[ID: 1412] [Date de publication: 15 février 2021 14:04] [Catégorie(s): Sous-espaces supplémentaires ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 286
Par emmanuel le 15 février 2021 14:04

Utilisons la dimension d’une somme de sous-espaces vectoriels : \[\dim(F+G)=\dim F + \dim G -\dim (F\cap G)\] On obtient que \(\dim(F\cap G) = \dim F + \dim G - \dim (F+G) > n - \dim(F+G)\). Mais comme \(F+G\) est un sous-espace vectoriel de \(E\), \(\dim(F+G)\leqslant n\) et donc \(\dim(F\cap G) > 0\). On obtient finalement que \(F\cap G \neq \{0\}\).


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