Dans l’espace vectoriel \(\mathbb{R}^{4}\), on considère les sous-espaces vectoriels \[F=Vect ( (1,2,1,3), (2,0,0,1) ) \textrm{ et } G=\left\{ (x,y,z,t)\in \mathbb{R}^{4} \mid 2x+y+z=0, x=y\right\}\]

  1. Déterminer les dimensions des sous-espaces vectoriels \(F\) et \(G\).

  2. Montrer que \(F\cap G=\left\{ 0\right\}\).

  3. En déduire que \(\mathbb{R}^{4}=F\oplus G\).


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[ID: 1410] [Date de publication: 15 février 2021 14:04] [Catégorie(s): Sous-espaces supplémentaires ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 137
Par emmanuel le 15 février 2021 14:04
  1. Par définition, \(S_1=(f_1,f_2)\) est générateur de \(F\). On vérifie que cette famille est libre. C’est une base de \(F\) et donc \(\dim F=2\). Il faut déterminer une famille génératrice de \(G\) : \[G=\{ x(1,1,-3,0)+t(0,0,0,1) ~|~ (x,t)\in \mathbb{R}^{2} \}\] Donc \(g_1=(1,1,-3,0)\) et \(g_2=(0,0,0,1)\) forment une famille génératrice de \(G\). On vérifie qu’il est libre. C’est donc une base de \(G\) et \(\dim G=2\).

  2. On vérifie facilement que les vecteurs \((1,2,1,3)\) et \((2,0,0,1)\) ne sont pas solutions du système \(\begin{cases} 2x+y+z&=0\\ x&=y\end{cases}\) donc \(F\cap G=\left\{0\right\}\).

  3. D’après la formule de Grassmann, puisque \(\dim F + \dim G= \dim \mathbb{R}^{4}\) et que \(F\cap G=\{0\}\), il vient que \(\dim \left(F+G\right)=\dim E\) et donc que \(F+G=E\). On peut alors écrire que \(E=F\oplus G\).


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