Dans \(E=\mathbb{R}^{4}\), on considère l’ensemble \[F=\{ (x,y,z,t)\in E~|~ x=y \textrm{ et } x-y+t=0 \}\]

  1. Montrer que \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(E\), et déterminer une base de \(F\).

  2. Déterminer un supplémentaire de \(F\) dans \(E\).

  3. Le supplémentaire trouvé est-il unique?


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[ID: 1406] [Date de publication: 15 février 2021 14:04] [Catégorie(s): Sous-espaces supplémentaires ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 1018
Par emmanuel le 15 février 2021 14:04
  1. On a \(F=\{ (x,y,z,t)\in E; x=y \textrm{ et } x-y+t=0 \}=\left\{\left(x,x,z,0\right)~|~ x,z\in \mathbb{R}\right\}=Vect\left(u,v\right)\) avec \(u=\left(1,1,0,0\right)\) et \(v=\left(0,0,1,0\right)\). Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires donc ils forment une famille libre. En conclusion, \(\left(u,v\right)\) est une base de \(F\) et \(\dim F=2\).

  2. Introduisons les vecteurs \(w=\left(1,0,0,0\right)\) et \(W=\left(0,0,0,1\right)\). On montre facilement que la famille \(\left(u,v,w,W\right)\) est libre. Comme son cardinal est égal à la dimension de \(\mathbb{R}^4\), c’est une base de \(\mathbb{R}^4\) et si \(G=Vect\left(w,W\right)\) alors \(F\) et \(G\) sont en somme directe.

  3. Ce supplémentaire n’est bien entendu pas unique. On montre de la même façon que précédemment que, par exemple, \(G'=Vect\left(\left(1,0,1,0\right),\left(0,0,0,1\right)\right)\) est un autre supplémentaire de \(F\) dans \(\mathbb{R}^4\).


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