On considère le \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel \(E=\mathbb{R}^3\) et \(u=\left(1,1,1\right)\in\mathbb{R}^3\); Posons : \[F=\left\{\left(x,y,z\right)\in\mathbb{R}^3 ~|~ x+y-z=0\right\} \quad \textrm{ et} \quad G=Vect\left(u\right)\] Prouver que \(F\) et \(G\) sont des sous-espaces supplémentaires de \(E\).

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[ID: 1404] [Date de publication: 15 février 2021 14:04] [Catégorie(s): Sous-espaces supplémentaires ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 919
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 15 février 2021 14:04

On a \(F=\left\{\left(x,y,z\right)\in\mathbb{R}^3 ~|~ x+y+z=0\right\} =\left\{\left(x,y,x+y\right) ~|~ x,y\in\mathbb{R}\right\}=Vect\left(v,w\right)\) avec \(v=\left(1,0,1\right)\) et \(w=\left(0,1,1\right)\). On vérifie facilement que la famille \(\left(u,v,w\right)\) forme une base de \(\mathbb{R}^3\) donc \(F\oplus G=\mathbb{R}^3\).

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