Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel  de dimension finie. Soient \(H\) un hyperplan et \(F\) un sous-espace vectoriel de \(E\) non inclus dans \(H\). Montrer que \(\dim F\cap H = \dim F - 1\).


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[ID: 1400] [Date de publication: 15 février 2021 13:55] [Catégorie(s): Hyperplan ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 1009
Par emmanuel le 15 février 2021 13:55

Comme \(\dim H=n-1\), le sous-espace vectoriel \(F+H\) de \(E\) est de dimension égal à \(n\) ou \(n-1\). Mais \(F\) n’est pas inclus dans \(H\), donc \(\dim \left(F+H\right)=n\). Par ailleurs, d’après la formule de Grassmann \(\dim F + \dim H = \dim \left(H+F\right) + \dim \left(F\cap H\right)\) donc  : \(\dim F + n-1 = n + \dim \left(F\cap H\right)\) ce qui prouve le résultat.


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