Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension finie \(n\), \(H_1\) et \(H_2\) deux hyperplans de \(E\) avec \(H_1\neq H_2\). Calculer \(\dim (H_1\cap H_2)\).


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[ID: 1398] [Date de publication: 15 février 2021 13:55] [Catégorie(s): Hyperplan ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 976
Par emmanuel le 15 février 2021 13:55

Calculons tout d’abord \(\dim \left(H_1+H_2\right)\). Remarquons que \(H_1+H_2\) est un sous-espace vectoriel de \(E\) qui contient \(H_1\). On a donc \(\dim \left(H_1+H_2\right)=n\) ou \(\dim \left(H_1+H_2\right)=n-1\). Si \(\dim \left(H_1+H_2\right)=n-1\) alors, comme \(\dim H_1=\dim H_2=n-1\) et que \(H_1 \subset H_1+H_2\), \(H_2\subset H_1+H_2\) alors \(H_1=H_1+H_2=H_2\) ce qui contredit le fait que \(H_1\) et \(H_2\) sont distincts. Donc \(\dim \left(H_1+H_2\right)=\dim E=n\). La formule de Grassmann amène \(\dim H_1 + \dim H_2 = \dim \left(H_1+H_2\right) + \dim \left(H_1\cap H_2\right)\) et donc \(\dim \left(H_1\cap H_2\right)= 2n -2 -n = n-2\). On peut aussi raisonner avec des formes linéaires. Comme \(H_2\) est un hyperplan de \(E\), il existe une forme linéaire sur \(E\), \(\varphi\in E^{\star}\) non-nulle telle que \(H_2 = \operatorname{Ker}\varphi\). Considérons la restriction \(\widetilde{\varphi}\) de la forme linéaire \(\varphi\) au sous-espace \(H_1\). Il est clair que \(\widetilde{\varphi}\) est une forme linéaire de \(H_1\) : \(\widetilde{\varphi} \in H_1^{\star}\).

  1. \(\widetilde{\varphi} \neq 0_{H_1^{\star}}\) : par l’absurde, si \(\widetilde{\varphi} = 0\), on aurait \(\forall x \in H_1\), \(\widetilde{\varphi}(x) = \varphi(x) = 0_K\) et donc on aurait \(H_1 \subset H_2\). Mais puisque \(\dim H_1 = \dim H_2 = n - 1\), on aurait \(H_1 = H_2\) ce qui est faux d’après l’énoncé ;

  2. \(H_1 \cap H_2 = \operatorname{Ker}\widetilde{\varphi}\) :

    • Soit \(x \in H_1 \cap H_2\), \(\widetilde{\varphi}(x) = \varphi(x) = 0_K\),

    • Soit \(x \in \operatorname{Ker}\widetilde{\varphi}\), \(x \in H_1\) et \(\widetilde{\varphi}(x) = \varphi(x) = 0_K\) et donc \(x \in H_1 \cap H_2\);

Nous avons donc montré que \(H_1\cap H_2\) est un hyperplan de l’espace \(H_1\) et puisque \(\dim H_1 = n - 1\), en utilisant le résultat du cours, il vient que \(\dim (H_1 \cap H_2) = n - 2\).


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