Soit \(D\) une droite vectorielle et \(H\) un hyperplan d’un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel  \(E\) de dimension \(n\in\mathbb{N}^*\). Montrer que si \(D\not \subset H\) alors \(D\) et \(H\) sont supplémentaires dans \(E\).


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[ID: 1396] [Date de publication: 15 février 2021 13:55] [Catégorie(s): Hyperplan ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 147
Par emmanuel le 15 février 2021 13:55

Le sous-espace vectoriel \(D+H\) contient \(H\) et \(D\) et est contenu dans \(E\) donc \(\dim (D+H) = n\) ou \(\dim (D+H) = n-1\). Si \(\dim \left(D+H\right) = n-1\) alors comme \(\dim H= \dim \left(D+H\right)\), il vient que \(D+H=H\) et donc que \(D\subset (D+H)=H\) ce qui contredit l’hypothèse formulée au sujet de \(D\). Donc \(\dim (D+H)=n\), ce qui prouve que \(D+H=E\). De plus \(\dim \left(D\cap H\right)= \dim (D+H) - \dim H - \dim D =0\), donc \(F\cap H=\left\{0\right\}\) d’où le résultat.


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