Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension finie et \(H\) un hyperplan de \(E\). Montrer qu’il existe une forme linéaire \(\varphi\) tel que \(H=\operatorname{Ker}\varphi\).


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[ID: 1394] [Date de publication: 15 février 2021 13:55] [Catégorie(s): Hyperplan ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 723
Par emmanuel le 15 février 2021 13:55

Comme \(H\) est un hyperplan et que \(E\) est de dimension finie, \(H\) admet un supplémentaire \(D\) dans \(E\) et \(\dim D=1\). Soit \(v\) un vecteur formant une base de \(D\). Tout vecteur \(x\in E\) se décompose de manière unique sous la forme \(x=x_0+\alpha v\)\(x_0\in H\) et \(\alpha\in R\). On considère alors la forme linéaire donnée par \(\varphi\left(x\right)=0\) si \(x\in H\) et \(\varphi\left(v\right)=1\). L’application \(\varphi\) est bien définie sur \(E\) et vérifie par construction \(\operatorname{Ker}\varphi=H\).


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