Soit un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\), \(H\) un hyperplan de \(E\), et \(H'\) un sous-espace vectoriel de \(E\). Montrer que \[H \subset H' \Rightarrow H' = H \textrm{ ou } H' = E\]

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[ID: 1392] [Date de publication: 15 février 2021 13:55] [Catégorie(s): Hyperplan ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 186
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 15 février 2021 13:55

Supposons que \(H' \neq H\). Alors il existe \(a \in H' \setminus H\). On sait alors, puisque \(H\) est un hyperplan que \(H \oplus \mathop{\mathrm{Vect}}(a) = E\). Montrons que \(H' = E\). Soit \(x \in E\), il existe \((x_H, \lambda) \in H \times \mathbb{K}\) tels que \(x = x_H + \lambda a \in H'\) car \(H'\) est un sous-espace vectoriel de \(E\).

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