Soit \(p\in\mathbb{N}^*\). On considère le sous-ensemble \(\mathscr S_p\left(\mathbb{R}\right)\) de \(\mathscr S\left(\mathbb{R}\right)\) des suites \(p\)-périodiques : \[\mathscr S_p\left(\mathbb{R}\right)=\left\{\left(u_n\right)\in \mathscr S\left(\mathbb{R}\right) ~|~ \forall n\in\mathbb{N},\quad u_{n+p}=u_n\right\}\]

Montrer que \(\mathscr S_p\left(\mathbb{R}\right)\) est un sous-espace vectoriel de dimension finie de \(\mathscr S\left(\mathbb{R}\right)\) et déterminer sa dimension.


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[ID: 1390] [Date de publication: 15 février 2021 13:34] [Catégorie(s): Sous-espace vectoriel de dimension finie ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 193
Par emmanuel le 15 février 2021 13:34

\(\mathscr S_p\left(\mathbb{R}\right)\) est stable par combinaison linéaire. C’est donc un sous-espace vectoriel de \(\mathscr S\left(\mathbb{R}\right)\). Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), notons \(n \textrm{ mod } p\) le reste de la division euclidienne de \(n\) par \(p\). Introduisons la famille \(\left(\left(u_n^i\right)\right)_{i\in\llbracket 1,p\rrbracket}\) de suites données par \[\forall n \in \mathbb{N}, \quad u_n^i=\begin{cases} 1 \textrm{ si } n \textrm{ mod } p =i \\ 0 \textrm{ sinon}\end{cases}.\] Cette famille forme une base de \(\mathscr S_p\left(\mathbb{R}\right)\). Si \(\alpha_1,\dots,\alpha_p\in\mathbb{R}\) sont tels que \(\sum_{i=1}^p \alpha_i\left(u_n^i\right)=0\) alors il vient que la suite \(\left(\alpha_1,\dots,\alpha_p,\alpha_1,\dots,\alpha_p,\alpha_1,\dots\right)\) est nulle et donc que \(\alpha_1=\dots=\alpha_p=0\). Donc la famille est libre. Considérons une suite \(p\)-périodique \(a=\left(a_1,\dots,a_p,a_1,\dots,a_p,a_1,\dots\right)\in \mathscr S_p\left(\mathbb{R}\right)\). On peut écrire que \(a=a_1 \left(u_n^1\right)+\dots+a_p \left(u_n^p\right)\) et donc la famille engendre \(\mathscr S\left(\mathbb{R}\right)\). En conclusion, c’est bien une base de \(\mathscr S_p\left(\mathbb{R}\right)\) et \(\dim \mathscr S_p\left(\mathbb{R}\right)=p\). On aurait aussi facilement pu résoudre cet exercice en montrant que \[\theta: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathscr S_p\left(\mathbb{R}\right) & \longrightarrow & \mathbb{R}^p \\ \left(u_n\right) & \longmapsto & \left(u_0,\dots,u_{p-1}\right) \end{array} \right.\] est un isomorphisme d’espaces vectoriels.


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