Posons \(F=Vect\left(f_1,f_2,f_3\right)\)\[f_1:x\mapsto e^x,\quad f_2:x\mapsto e^{2x} \quad \textrm{ et} \quad f_3:x\mapsto e^{x^2}.\] Montrer que \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathscr F\left(\mathbb{R},\mathbb{R}\right)\) et en donner la dimension et une base.


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[ID: 1388] [Date de publication: 15 février 2021 13:34] [Catégorie(s): Sous-espace vectoriel de dimension finie ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 602
Par emmanuel le 15 février 2021 13:34

L’ensemble \(F\) étant donné comme un \(Vect\), c’est un sous-espace vectoriel de \(\mathscr F\left(\mathbb{R},\mathbb{R}\right)\). Soient \(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\in\mathbb{R}\) tels que \(\alpha_1 f_1+\alpha_2 f_2+\alpha_3 f_3=0\). On a donc : \(\forall x\in\mathbb{R},\quad \alpha_1 e^x + \alpha_2 e^{2x}+\alpha_3 e^{x^2}=0\). En particulier, pour tout \(x\in \mathbb{R}\), en divisant par \(e^{x^2}\) : \[0 = \left( \alpha_1e^{x-x^2} +\alpha_2 e^{2x-x^2} + \alpha_3 \right) \xrightarrow[x\rightarrow \infty]{} \alpha_3\] donc \(\alpha_3=0\). On a donc en revenant à la première égalité : \(\forall x\in\mathbb{R},\quad \alpha_1 e^{x} + \alpha_2 e^{2x}=0\). De même, on divise cette égalité par \(e^{x}\) et on trouve \[0=\left(\alpha_1 +\alpha_2 e^{x}\right) \xrightarrow[x\rightarrow -\infty]{} \alpha_1\] et nécessairement \(\alpha_1=0\) ce qui amène aussi \(\alpha_2=0\) car la fonction exponentielle est strictement positive. La famille \(\left(f_1,f_2,f_3\right)\) est bien libre et \(\dim F=3\).


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