On pose : \[f_1:x \mapsto x,\quad f_2:x \mapsto x^2,\quad f_3:x \mapsto x\ln x,\quad f_4:x \mapsto x^2 \ln x\] On pose aussi : \(F=Vect\left(f_1,f_2,f_3,f_4\right)\). Prouver que \(F\) est un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel et déterminer sa dimension.


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[ID: 1386] [Date de publication: 15 février 2021 13:34] [Catégorie(s): Sous-espace vectoriel de dimension finie ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 537
Par emmanuel le 15 février 2021 13:34

L’ensemble \(F\) s’écrit comme un \(Vect\), c’est donc un sous-espace de \(\mathscr F\left(\mathbb{R}_+^*, \mathbb{R}\right)\) et donc un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel. Soient \(\alpha_i\in\mathbb{R}\), \(i\in\llbracket 1,4\rrbracket\) tels que \(f=\alpha_1 f_1+\alpha_2 f_2+\alpha_3 f_3+\alpha_4 f_4=0\). La fonction \(f\) ainsi que toutes ses dérivées sont identiquement nulles sur \(\mathbb{R}_+^*\). L’égalité \(f\left(1\right)=0\) amène \(\alpha_1+\alpha_2=0\). L’égalité \(f'\left(1\right)=0\) amène \(\alpha_1+2\alpha_2+\alpha_3+\alpha_4=0\) et \(f''\left(1\right)=0\) amène \(2\alpha_2+\alpha_3+3\alpha_4=0\). Enfin, \(f'''\left(1\right)=0\) amène \(-\alpha_3+2\alpha_4=0\). Le quadruplet \(\left(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\right)\) est donc solution du système formé par ces \(4\) équations. On vérifie en le résolvant que sa seule solution est \(\left(0,0,0,0\right)\). Il vient donc que \(\alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=\alpha_4=0\). La famille \(\left(f_1,f_2,f_3,f_4\right)\) est libre et \(\dim F=4\).


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