Déterminer une base du sous-espace vectoriel \(F\) de \(\mathscr F\left(\mathbb{R},\mathbb{R}\right)\) donné par : \(F=Vect\left(f_1,f_2,f_3,f_4\right)\) où \[f_1:x\mapsto e^x,\quad f_2:x\mapsto e^{-x} ,\quad f_3:x\mapsto \mathop{\mathrm{ch}}x,\quad f_4:x\mapsto \mathop{\mathrm{sh}}x.\]

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[ID: 1384] [Date de publication: 15 février 2021 13:34] [Catégorie(s): Sous-espace vectoriel de dimension finie ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 87
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 15 février 2021 13:34

On vérifie facilement que la famille \(\left(f_1,f_2\right)\) est libre. De plus : \(f_3=\dfrac{1}{2}\left(f_1+f_2\right)\) et \(f_4=\dfrac{1}{2}\left(f_1-f_2\right)\). Donc par application du lemme de réduction d’une famille liée : \(F=Vect\left(f_1,f_2,f_3,f_4\right)=Vect\left(f_1,f_2\right)\). On en déduit qu’une base de \(F\) est \(\left(f_1,f_2\right)\).

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