Soit \(F\) l’ensemble des fonctions \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) telles qu’il existe \(a,b,c\in \mathbb{R}\) pour lesquels :

\[\forall x\in \mathbb{R}, \quad f\left(x\right)=\left(ax^2+bx+c\right)\sin x\]

  1. Montrer que \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathscr F\left(\mathbb{R},\mathbb{R}\right)\).

  2. Déterminer une base de \(F\) ainsi que sa dimension.


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[ID: 1382] [Date de publication: 15 février 2021 13:34] [Catégorie(s): Sous-espace vectoriel de dimension finie ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 758
Par emmanuel le 15 février 2021 13:34
  1. \(F\) est engendré par la famille \(\left(x\mapsto x^2\sin x, x\mapsto x \sin x, x\mapsto \sin x \right)\). C’est donc un sous-espace vectoriel de \(\mathscr F\left(\mathbb{R},\mathbb{R}\right)\).

  2. Une base de \(E\) est donnée par la famille précédente : Soient \(\alpha, \beta,\gamma \in \mathbb{R}\) tels que : \(\forall x\in \mathbb{R}, \alpha x^2 \sin x + \beta x \sin x + \gamma \sin x = 0\), alors \(\forall x \not \equiv 0 \left[ \pi \right], \quad \alpha x^2+\beta x+\gamma=0\). Un polynôme du second degré est soit identiquement nul, soit ne s’annule au plus que deux fois. Donc \(\alpha=\beta=\gamma=0\). La famille est donc libre. Elle est, par définition génératrice et forme donc une base de \(F\) qui est alors un sous-espace vectoriel de dimension \(3\) de \(E\).


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