Montrer \(F=\left\{ P\in\mathbb{R}_4\left[X\right]~|~P\left(1\right)=P\left(2\right)=0\right\}\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}_4\left[X\right]\) et en déterminer une base ainsi que la dimension.


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[ID: 1380] [Date de publication: 15 février 2021 13:34] [Catégorie(s): Sous-espace vectoriel de dimension finie ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 171
Par emmanuel le 15 février 2021 13:34

Les polynômes de \(F\) sont de degré \(\leqslant 4\) et s’annulent en \(1\) et \(2\). Par conséquent, ils sont de la forme \(\left(aX^2+bX+c\right)\left(X-1\right)\left(X-2\right)\). Il s’ensuit que \(F=Vect\left(P_1,P_2,P_3\right)\)\(P_1=X^2\left(X-1\right)\left(X-2\right), P_2=X\left(X-1\right)\left(X-2\right), P_3=\left(X-1\right)\left(X-2\right)\). On en déduit que \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}_4\left[X\right]\). On vérifie facilement que la famille \(\left(P_1,P_2,P_3\right)\) est libre. Si \(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\) sont trois réels tels que \(\alpha_1 P_1 +\alpha_2 P_2+\alpha_3 P_3=0\) alors par intégrité de l’anneau des polynômes, \(\alpha_1 X^2 + \alpha_2 X+\alpha_3=0\) ce qui n’est possible que si \(\alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=0\). La famille \(\left(P_1,P_2,P_3\right)\) forme donc une base de \(F\).


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