Montrer que \(F= \left\{ f\in\mathcal{C}^{2}\left(\mathbb{R}\right)~|~ f''-2f'+2f=0\right\}\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathcal{C}^{^2}\left(\mathbb{R}\right)\) et en déterminer une base. En déduire la dimension de \(F\).


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[ID: 1378] [Date de publication: 15 février 2021 13:34] [Catégorie(s): Sous-espace vectoriel de dimension finie ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 248
Par emmanuel le 15 février 2021 13:34

En appliquant le théorème de résolution des équations différentielles du second ordre à coefficients constants, on trouve que \(F=\left\{x\mapsto \left(\alpha \cos x+\beta \sin x\right) e^{-x} ~|~ \alpha,\beta\in\mathbb{R}\right\}\). Autrement dit : \(F=Vect\left(f_1,f_2\right)\)\(f_1:x\mapsto \cos x e^{-x}\) et \(f_2: x\mapsto \sin x e^{-x}\). La famille \(\left(f_1,f_2\right)\) engendre \(F\). On vérifie facilement qu’elle est libre. Elle forme donc une base de \(F\) et \(\dim F=2\).


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