On note \(E\) l’espace vectoriel des fonctions indéfiniment dérivables de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\). Soit un réel \(a\in \mathbb{R}\). On note \(F\) l’ensemble des fonctions \(f\) vérifiant : \[\forall x \in \mathbb{R} , \quad f'(x) = a f(x)\] Montrer que \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(E\) et déterminer une base de \(F\).


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[ID: 1376] [Date de publication: 15 février 2021 13:34] [Catégorie(s): Sous-espace vectoriel de dimension finie ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 789
Par emmanuel le 15 février 2021 13:34

On applique le théorème de résolution des équations différentielles homogène du premier degré sans second membre et les fonctions \(f\) solutions de \(y'-ay=0\) sont celles de la forme \(f:x\mapsto \alpha e^{ax}\)\(\alpha \in\mathbb{R}\). On en déduit que \(F=Vect\left(x\mapsto \exp\left(ax\right)\right)\) et que c’est un sous-espace vectoriel de \(E\). Il est alors clair que la famille \(\left( x\mapsto \exp\left(ax\right)\right)\) forme une base de \(F\) et que \(\dim F=1\).


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