Soit \(F=\left\{\left(x,y,z,t\right)\in\mathbb{R}^4 ~|~ 2x-y+z-t=0\right\}\)

  1. Montrer que \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^4\).

  2. Trouver une famille génératrice de \(F\).

  3. En déduire une base de \(F\) puis la dimension de \(F\).


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[ID: 1372] [Date de publication: 15 février 2021 13:34] [Catégorie(s): Sous-espace vectoriel de dimension finie ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 936
Par emmanuel le 15 février 2021 13:34
  1. On a : \(F=\left\{\left(x,y,z,t\right)\in\mathbb{R}^4 ~|~ 2x-y+z-t=0\right\} = \left\{\left(x,y,z,2x-y+z\right) ~|~ x,y,z\in\mathbb{R}\right\} = \left\{x\left(1,0,0,2\right)+y\left(0,1,0,-1\right)+z\left(0,0,1,1\right)~|~ x,y,z\in\mathbb{R}\right\}=Vect\left(e_1,e_2,e_3\right)\)\(e_1=\left(1,0,0,2\right)\), \(e_2=\left(0,1,0,-1\right)\) et \(e_3=\left(0,0,1,1\right)\). On en déduit à la fois que \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^4\) ainsi qu’une famille génératrice de \(F\).

  2. On vérifie facilement que la famille \(\left({e_1,e_2,e_3}\right)\) est libre. On en déduit que cette famille forme une base de \(F\) et donc que \(\dim F=3\).


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