Dans \(\mathbb{R}^{4}\), on considère le sous-ensemble \[F=\{ (x,y,z,t)\in \mathbb{R}^{4}~|~ 2x-y+3z+t=0 \} .\] Montrer que \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^4\) et en déterminer une base.


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[ID: 1370] [Date de publication: 15 février 2021 13:34] [Catégorie(s): Sous-espace vectoriel de dimension finie ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 368
Par emmanuel le 15 février 2021 13:34

Comme \(F=\{ (x,y,z,t)\in \mathbb{R}^{4};~|~ 2x-y+3z+t=0 \} = \left\{\left(x,2x+3z+t,z,t\right) ~|~ x, z,t\in\mathbb{R}\right\}=Vect\left(\left(1,2,0,0\right),\left(0,3,1,0\right),\left(0,1,0,1\right)\right)\). Donc \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^4\). La famille \(\left(e_1,e_2,e_3\right)\)\(e_1=\left(1,2,0,0\right)\), \(e_2=\left(0,3,1,0\right)\) et \(e_3=\left(0,1,0,1\right)\) engendre \(F\). Montrons qu’elle est libre. Soient \(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\in\mathbb{R}\) tels que \(\alpha_1 e_1 + \alpha_2 e_2+\alpha_3 e_3=0\). Le triplet \(\left(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\right)\) vérifie \(\left\{ \begin{aligned} \alpha_1&&&=0\cr 2\alpha_1&+3\alpha_2&+\alpha_3&=0 \cr &\alpha_2&&=0 \cr &&\alpha_3&=0 \end{aligned}\right.\) et donc \(\alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=0\). La famille est bien libre. Alors \(\left(e_1,e_2,e_3\right)\) est une base de \(F\) et \(\dim F=3\).


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