Montrer que le sous-ensemble \[F=\left\{\left(\alpha+\beta,\beta,2\alpha-\beta,-\alpha\right)~|~ \alpha,\beta \in \mathbb{R}\right\}\] est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^4\) dont on déterminera la dimension et une base.


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[ID: 1368] [Date de publication: 15 février 2021 13:34] [Catégorie(s): Sous-espace vectoriel de dimension finie ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 313
Par emmanuel le 15 février 2021 13:34

Comme \(F=\left\{\left(\alpha+\beta,\beta,2\alpha-\beta,-\alpha\right)~|~ \alpha\in\mathbb{R},\beta \in \mathbb{R}\right\}= \left\{\alpha \left(1,0,2,-1\right)+\beta \left(1,1,-1,0\right) ~|~ \alpha,\beta\in\mathbb{R}\right\}=Vect\left(e_1,e_2\right)\)\(e_1=\left(1,0,2,-1\right)\) et \(e_2=\left(1,1,-1,0\right)\). On en déduit que \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^4\). De plus, les vecteurs \(e_1\) et \(e_2\) ne sont pas colinéaires et ils engendrent \(F\). Ils forment donc une base de \(F\) et \(\dim F=2\).


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