Soit \(F=\left\{\left(x,y,z\right)\in \mathbb{R}^3 ~|~ x-y+z=0 \quad \textrm{ et} \quad-x-y+z=0\right\}\).

  1. Montrer que \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^3\).

  2. Trouver une base de \(F\). En déduire \(\dim F\).


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[ID: 1366] [Date de publication: 15 février 2021 13:34] [Catégorie(s): Sous-espace vectoriel de dimension finie ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 40
Par emmanuel le 15 février 2021 13:34

On a : \(\left\{ \begin{aligned} x-y+z&=0\cr -x-y+z&=0 \end{aligned}\right. \Longleftrightarrow\left\{ \begin{aligned} x-y+z&=0\cr -y+z&=0 \end{aligned}\right.\) donc \(F=\left\{\left(x,y,z\right)\in \mathbb{R}^3 ~|~ x-y+z=0 \quad \textrm{ et} \quad-x-y+z=0\right\} = \left\{\left(0,y,y\right) ~|~ y\in\mathbb{R}\right\}=Vect\left(0,1,1\right)\). \(F\) est donc un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^3\) et la famille constituée du vecteur \(\left(0,1,1\right)\) en forme une base. On en déduit que \(\dim F=1\). Le sous-espace \(F\) est la droite vectorielle de \(\mathbb{R}^3\) dirigée par \(\left(0,1,1\right)\).


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