Soit \(F=\left\{\left(x,y,z\right)\in\mathbb{R}^3 ~|~ x-y+2z=0\right\}\). Prouver que \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^3\), en déterminer une base et calculer sa dimension.


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[ID: 1364] [Date de publication: 15 février 2021 13:34] [Catégorie(s): Sous-espace vectoriel de dimension finie ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 315
Par emmanuel le 15 février 2021 13:34

Comme \(F=\left\{\left(y-2z,y,z\right) ~|~ y,z \in\mathbb{R}\right\}=Vect\left(\left(1,1,0\right),\left(-2,0,1\right)\right)\), \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^3\). La famille \(\left(\left(1,1,0\right),\left(-2,0,1\right)\right)\) engendre \(F\) et les deux vecteurs la constituant n’étant pas colinéaire, elle est libre. Cette famille forme donc une base de \(F\) et \(\dim F=2\).


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