Montrer \(\mathcal{S}(\mathbb{R} )\) et \(\mathcal{F}(\mathbb{R} ,\mathbb{R} )\) sont de dimension infinie.


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[ID: 1362] [Date de publication: 15 février 2021 11:13] [Catégorie(s): Bases et dimension d'un espace vectoriel ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 737
Par emmanuel le 15 février 2021 11:13

Pour le premier cas, on considère pour tout \(n\in\mathbb{N}\), la suite \(e(n)\in \mathcal{S}(\mathbb{R} )\) qui s’annule à tous les rangs sauf au rang \(n\) où elle vaut \(1\). On considère aussi pour tout \(m\in\mathbb{N}\) la famille de suites \(E_m=\left(e(0),\dots,e(m)\right)\). Pour tout \(m\in\mathbb{N}\), cette famille est libre. En effet, si \(\alpha_0,\dots,\alpha_n\in\mathbb{R}\) sont tels que \(\alpha_0 e(0)+\dots +\alpha_m e(m)=0\) alors on obtient \(\left(\alpha_0,\dots,\alpha_m,0,\dots\right)=\left(0,\dots\right)\) et donc que \(\alpha_0=\dots=\alpha_m=0\). Supposons que \(\mathcal{S}(\mathbb{R} )\) soit de dimension finie \(n\in\mathbb{N}\). La famille \(E_{n}\) est libre et de cardinal \(n+1\) ce qui n’est pas possible. Donc \(\mathcal{S}(\mathbb{R} )\) est de dimension infinie.

Pour le second cas, on procède de même en considérant pour tout \(n\in\mathbb{N}\) les fonctions \(f_n\) définies sur \(\mathbb{R}\) qui valent \(0\) si \(x\neq n\) et qui valent \(1\) si \(x=n\).


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