Soit \(\mathbb{R}_n\left[X\right]\) l’espace vectoriel des polynômes de degré \(\leqslant n\). Soit \(\mathscr F = \left(P_0,\dots,P_n\right)\) une famille de \(n+1\) polynômes de \(\mathbb{R}_n\left[X\right]\) telle que : \[\forall i\in \llbracket 0,n\rrbracket, \quad \deg P_i=i.\] Prouver que \(\mathscr F\) est une base de \(\mathbb{R}_n\left[X\right]\).


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[ID: 1360] [Date de publication: 15 février 2021 11:13] [Catégorie(s): Bases et dimension d'un espace vectoriel ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 182
Par emmanuel le 15 février 2021 11:13

Pour tout \(k\in\llbracket 0,n\rrbracket\), supposons que que \(P_k=\lambda_k X^k+\sum_{i=0}^{k-1} \lambda_{i,k} X^i\). Comme \(\deg P_k=k\), on a nécessairement \(\lambda_k\neq 0\). Soient \(\alpha_0,\dots,\alpha_n \in \mathbb{R}\) tels que : \(\sum_{k=0}^n \alpha_k P_k=0\). Un polynôme étant nul si et seulement si tous ses coefficients sont nuls, on aboutit au système : \[\left\{ \begin{aligned} \lambda_0 \alpha_0&+\lambda_{0,1}\alpha_1&+\lambda_{0,2}\alpha_2&+\dots&+ \lambda_{0,n}\alpha_n&=0 \cr &\lambda_1\alpha_1&+\lambda_{1,2}\alpha_2&+\dots&+ \lambda_{1,n}\alpha_n&=0 \cr &&& \dots&& \cr &&&\lambda_{n-1} \alpha_{n-1}&+\lambda_{n-1,n}\alpha_n&=0 \cr &&&&\lambda_n\alpha_n&=0 \end{aligned}\right.\] qui est triangulaire, et comme \(\forall k\in\llbracket 0,n\rrbracket,\quad \lambda_k\neq 0\), son unique solution est le \(n+1\)-uplet nul. Il vient : \(\alpha_0=\alpha_1=\dots=\alpha_n=0\) et la famille \(\mathscr F\) est libre. Comme elle est de cardinal égal à la dimension de \(\mathbb{R}_n\left[X\right]\), \(\mathscr F\) est de plus génératrice de \(\mathbb{R}_n\left[X\right]\). On en déduit qu’elle forme une base de \(\mathbb{R}_n\left[X\right]\).


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