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[ID: 1358] [Date de publication: 15 février 2021 11:13] [Catégorie(s): Bases et dimension d'un espace vectoriel ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]

Solution(s)

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Exercice 814
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 15 février 2021 11:13

1. On vérifie facilement que \(\mathbb{R}\) muni de l’addition et de la multiplication par un rationnel vérifie les axiomes définissant un \(\mathbb{Q}\)-espace vectoriel

2. Pour répondre à la question, il suffit de montrer que \(E\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}\). \(E\) est clairement non vide et si \(\alpha,\alpha'\in \mathbb{Q}\), \(u=a+b\sqrt 2+c\sqrt 3\in E\) et \(u'=a'+b'\sqrt 2+c'\sqrt 3\in E\) alors \(\alpha u +\alpha' u' = \alpha\left(a+b\sqrt 2+c\sqrt 3\right) + \alpha'\left(a'+b'\sqrt 2+c'\sqrt 3\right)=\left(\alpha a + \alpha' a'\right) + \left(\alpha b + \alpha' b'\right) \sqrt 2+ \left(\alpha c + \alpha' c'\right) \sqrt 3\in E\). L’ensemble \(E\) est bien un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}\). On peut aussi remarquer que \(E=Vect\left(1,\sqrt 2,\sqrt 3\right)\).

3. Montrons que la famille \(e=\left(1,\sqrt 2,\sqrt 3\right)\) est une base de \(E\). Elle engendre clairement \(E\). Soient \(a,b,c\in \mathbb{Q}\) tels que \(a+ b\sqrt{2}+c\sqrt{3}=0\). Alors \(c\sqrt 3=-\left(a+ b\sqrt{2}\right)\) et en élevant au carré \(3c^2=a^2+2b^2+2ab\sqrt 2\).

   1. Si \(a\) et \(b\) sont nuls, on a forcément \(c=0\).

   2. Si \(a=0\) et \(b\neq 0\) alors \(3c^2 =2b^2\) et \(c/b=\pm \sqrt{2/3}\) ce qui n’est pas possible car \(c/b\in \mathbb{Q}\).

   3. Si \(a\neq 0\) et \(b=0\) alors \(3c^2=a^2\) et \(c/a=\sqrt 3/3\) ce qui n’est pas possible pour la même raison que précédemment.

   4. Si \(a,b\neq 0\) alors \(\sqrt 2 = \left(3c^2-a^2-2b^2\right)/{2ab}\) ce qui n’est pas possible car \(\sqrt 2 \not \in\mathbb{Q}\).

   En conclusion, \(a=b=c=0\) et la famille est libre. On a ainsi trouvé une base de \(E\) qui est de dimension \(3\).