Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel  muni d’une base \(e = \left({e_1},\dots,{e_n}\right)\). Pour tout \(i\in\llbracket 1,n\rrbracket\), on pose \({\varepsilon_i}={e_1}+\dots+{e_i}\).

  1. Montrer que \(\varepsilon=\left({\varepsilon_i}\right)_{i\in\llbracket 1,n\rrbracket}\) forme une base de \(E\).

  2. Exprimer les composantes d’un vecteur de \(E\) dans \(\varepsilon\) en fonction de ses composantes dans \(e\).


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[ID: 1356] [Date de publication: 15 février 2021 11:13] [Catégorie(s): Bases et dimension d'un espace vectoriel ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 805
Par emmanuel le 15 février 2021 11:13
  1. Soit \(\left(\alpha_1,\dots,\alpha_n\right)\in\mathbb{K}^n\) tel que \(\displaystyle{\sum_{i=1}^n \alpha_i \varepsilon_i=0}\). On a alors \[\left(\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n\right)e_1+ \left(\alpha_2+\cdots+\alpha_n\right)e_2 + \dots+ +\alpha_ne_n=0\]

    qui conduit, de part la liberté de \(e\), à  : \[\left\{ \begin{aligned} \alpha_1&+\alpha_2&+\cdots&+\alpha_n&=&0\cr &\alpha_2&+\cdots&+\alpha_n&=&0\cr & & & &\hfill\vdots\hfill&\cr & & &\alpha_n&=&0 \end{aligned}\right.\]

    et donc \(\alpha_n=\dots=\alpha_1=0\).

  2. Soit \(x\in E\). On a \(x=\alpha_1 {e_1}+\dots\alpha_n {e_n}= \alpha'_1 {\varepsilon_1}+\dots\alpha'_n {\varepsilon_n}\). On a donc : \[\left\{ \begin{aligned} \alpha_1'&+\alpha_2'&+\cdots&+\alpha_n'&=&\alpha_1\cr &\alpha_2'&+\cdots&+\alpha_n'&=&\alpha_2\cr & & & &\hfill\vdots\hfill&\cr & & &\alpha_n'&=&\alpha_n \end{aligned}\right.\] ce qui amène : \[\left\{ \begin{aligned} \alpha'_1&=&\alpha_1&-\alpha_2\cr &\hfill\vdots\hfill\cr \alpha'_{n-1}&=&\alpha_{n-1}&-\alpha_n\cr \alpha'_{n}&=&\alpha_n& \end{aligned}\right.\] et \(\boxed{x=\left(\alpha_1-\alpha_2\right)e_1+\left(\alpha_2-\alpha_3\right)e_2+\dots+\left( \alpha_{n-1}-\alpha_n\right)e_{n-1}+\alpha_n e_n}\).


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