1. Prouver que \(\left(1,i\right)\) est une base du \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel \(\mathbb{C}\).

  2. De même, prouver que \(\left(1,j\right)\) est une base de \(\mathbb{C}\)\(j=e^{{\scriptstyle 2i\pi\over\scriptstyle 3}}\).

  3. Donner une base du \(\mathbb{C}\)-espace vectoriel \(\mathbb{C}\).


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[ID: 1354] [Date de publication: 15 février 2021 11:13] [Catégorie(s): Bases et dimension d'un espace vectoriel ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 915
Par emmanuel le 15 février 2021 11:13
  1. Pour tout nombre complexe \(z\), il existe \(a,b\in\mathbb{R}\) tels que \(z=a\times 1+b\times i\). La famille \(\left(1,i\right)\) est donc génératrice de \(\mathbb{C}\). Soient \(a,b\in\mathbb{R}\) tels que \(a\times 1+b\times i=0\). On a alors forcement \(a=b=0\). La famille \(\left(1,i\right)\) est donc libre. La famille forme une base de \(\mathbb{C}\). On en déduit que \(\mathbb{C}\) est un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel de dimension \(2\).

  2. Soient \(a,b\in\mathbb{R}\) tels que \(a.1+b.j=0\). On a alors : \(a\left(1+ \cos {\scriptstyle 2\pi\over\scriptstyle 3}\right)+ib\sin {\scriptstyle 2\pi\over\scriptstyle 3}\) ce qui amène \(a=b=0\). La famille \(\left(1,j\right)\) est donc libre dans \(\mathbb{C}\). Comme \(\mathbb{C}\) est de dimension \(2\), \(\left(1,j\right)\) engendre \(\mathbb{C}\). \(\left(1,j\right)\) est donc une base de \(\mathbb{C}\).

  3. La famille \(\left(1\right)\) forme une base du \(\mathbb{C}\)-espace vectoriel \(\mathbb{C}\). Cette famille est trivialement libre. Si \(z\in\mathbb{C}\) alors \(z=z.1\) ! Et donc la famille \(\left(1\right)\) est génératrice de \(\mathbb{C}\). C’est donc une base de \(\mathbb{C}\) et \(C\) est un \(\mathbb{C}\)-espace vectoriel de dimension \(1\).


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