Dans l’espace \(\mathbb{R}^{4}\), on considère les deux vecteurs \(f_1=(0,1,2,1)\) et \(f_2=(3,0,1,1)\). Trouver deux vecteurs \(f_3, f_4\) tels que la famille \((f_1,f_2,f_3,f_4)\) forme une base de \(\mathbb{R}^{4}\).

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[ID: 1352] [Date de publication: 15 février 2021 11:13] [Catégorie(s): Bases et dimension d'un espace vectoriel ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 866
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 15 février 2021 11:13

Les vecteurs \(f_1\) et \(f_2\) ne sont pas colinéaires donc la famille \(S_1=(f_1,f_2)\) est libre. On considère la base canonique \(e=(e_1,\dots,e_4)\) de \(\mathbb{R}^4\). On vérifie facilement que \(S_2=(f_1,f_2,e_1,e_2)\) est libre. Finalement, puisque \(\dim \mathbb{R}^{4}=4\), et que l’on a trouvé une famille libre de cardinal \(4\), \(S_2\) est une base.

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