Soit \(E\) le sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^4\) engendré par les vecteurs \(e_1=\left(1,1,0,0\right)\), \(e_2=\left(1,1,0,1\right)\) et \(e_3=\left(0,0,0,1\right)\).

  1. Quelle est la dimension de \(E\)?

  2. Compléter cette famille en sorte d’avoir une base de \(\mathbb{R}^4\).


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[ID: 1350] [Date de publication: 15 février 2021 11:13] [Catégorie(s): Bases et dimension d'un espace vectoriel ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 566
Par emmanuel le 15 février 2021 11:13
  1. Comme \(e_3=e_2-e_1\), la famille \(e\) n’est pas libre. Par contre, comme les vecteurs \(e_1\) et \(e_2\) ne sont pas colinéaires, \(\left(e_1,e_2\right)\) forme une famille libre qui engendre encore \(E\) par le lemme de diminution d’une famille liée. On complète la base par des vecteurs de la base canonique.

  2. Une solution peut être de compléter la famille \(\left(e_1,e_2\right)\) avec les vecteurs \(f_1=\left(1,0,0,0\right)\) et \(f_2=\left(0,0,1,0\right)\) de la base canonique de \(\mathbb{R}^4\) . On montre facilement que la famille \(\left(e_1,e_2,f_1,f_2\right)\) est libre. Comme \(\dim \mathbb{R}^4=4\), elle forme une base de \(\mathbb{R}^4\).


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